数列与数学归纳法专题XX 市久隆模X 中学 石英丽经典例题【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*,855N n a n S n n ∈--=.（1）证明：{}1-n a 是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出使得n n S S >+1成立的最小正整数n . 解：(1) 当1=n 时，141-=a ；当2≥n 时，15511++-=-=--n n n n n a a S S a ， 所以()16511-=--n n a a . 又01511≠-=-a ，所以数列{}1-n a 是以－15为首项，65为公比的等比数列. (2) 由(1)知：165151-⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n a ，得1651-⎪⎭⎫⎝⎛-=n n a 从而*1,906575N n n S n n ∈-+⎪⎭⎫⎝⎛=-；由n n S S >+1得252651<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，9.141252log 65≈+>n ，最小正整数15=n . 【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为239,21,31+=+=S a S n ． （1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （2）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 解：（1）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-=． （2）由（Ⅰ）得nn S b n n== 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r +=．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，．与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．【例3】已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a ()R a ∈,设数列的前n 项和为4211,1,1,a a a S n 且成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （2）记na a a a B S S S A n n n 2221211111,1112++++=+++= ，当2≥n 时，试比较n A 与n B 的大小．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由4122111a a a⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛， 得())3(1121d a a d a +=+.因为0≠d ，所以a d = 所以()21,1+==n an S na a n n . （2）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11121n n a S n ，所以)111(211121+-=+++=n a S S S A n n . 因为a a n n 1221-=-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=++++=-n nna a a a a a B n 211221121111111122221 . 当12,210+>+++=≥n C C C n nn n n n 时，即n n 211111-<+-. 所以，当n n n n B A a B A a ><<>时当时0;0.【例4】 已知21=a ，点()1,+n n a a 在函数()x x x f 22+=的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列(){}n a +1lg 是等比数列；（2）设()()()n n a a a T +++=11121 ，求n T 及数列{}n a 的通项； （3）记211++=n n n a a b ，求数列}{n b 的前项和S n ，并证明132-+n n T S =1.解：（1）由已知212n n n a a a +=+， 211(1)n n a a +∴+=+12a = 11n a ∴+>，两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.（2）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=⋅+ 1122lg3lg3n n --=⋅= 1213n n a -∴+=（*）12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=⋅⋅⋅⋅n-12…3 21223+++=n-1…+2=n 2-13由（*）式得1231n n a -=-（3）n n n a a a 221+=+ 1(2)n n n a a a +∴=+11111()22n n n a a a +∴=-+ 11122n n n a a a +∴=-+. 又112n n n b a a =++1112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11112()n a a +=-. 1221131,2,31n nn n a a a -+=-==-22131nn S ∴=--.又213nn T -=2131n n S T ∴+=-.【例5】 已知数列{}n a 满足2,021==a a ，且对任意*,N n m ∈都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--.（1）求53,a a ；（2）设)(*1212N n a a b n n n ∈-=-+，证明：{}n b 是等差数列；（3）设()()*11,0,N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+，求数列}{n c 的前n 项和n S .解：(1)由题意，6221,2123=+-===a a a n m 可得令，再令20821,3135=+-===a a a n m 可得.(2)当*N n ∈时，由已知(以m n 代替2+)可得82121232+=++-+n n n a a a .于是()()8)(][1212112112=----+-+++n n n n a a a a ， 即6,81211=-==-+a a b b b n n .所以{}n b 是以6为首项，8为公差的等差数列.(3)由(1)(2)解答可知28,281212-=--=-+n a a n b n n n 即. 另由已知(令1=m )可得()211212--+=+n a a a n n . 那么n n n n a a a a n n n n 21222812212121=+--=+-+=--++，于是12-=n n nq c .当1=q 时，()12642+=++++=n n n S n ；当1≠q 时，12102642-++++=n n nq q q q S .两边同乘以q ，可得nn nq q q q qS 2642321++++= .上述两式相减得()()()qnq q n nq q q nq qq q S q n n nn nn n -++-⋅=---⋅=-++++=-+-111221122121112.所以()21)1(112q nq q n S n n n -++-⋅=+. 综上所述，()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-++-⋅=+1,11,111221q n n q q nq q n S n n n数列与数学归纳法专题检测题一、填空题（每小题4分，满分40分） 1.列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 . 2.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为__ . 3.函数()2xf x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= .4.知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于 .5.知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim nn na S →∞= .6.知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= .7.差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m = .8.全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 . 9.{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .10.知数列{}n a 满足：m a =1（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________.二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤） 11.设数列{}n a 满足11111011=---=+nn a a a 且.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1,证明1<n S .12.等比数列{}n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()n nn n a a b ln 1-+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .13.设d 为非零实数，()()()*11221,121N n d nC d C n d C d C na nn n n n n n n n ∈+-++=-- . （1）写出321,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。

若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设)(,*N n nda b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和n S .14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程02=--n n a x a x 有一根为 ,3,2,1,1=-n S n（1）求21,a a ； （2）{}n a 的通项公式． 15.已知有穷数列A ：12,,,n a a a ，(2n ≥).若数列A 中各项都是集合{|11}x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列.对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任取两项,i j a a ，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除,i j a a ,这样得到一个1n -项的新数列1A (约定:一个数也视作数列). 若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2A ，,如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A .（1）设11:0,,.23A 请写出1A 的所有可能的结果；（2）求证：对于一个n 项的Γ数列A 操作T 总可以进行1n -次；（3）设5111511111:,.7654623456A ----，，，，，，，，求9A 的可能结果，并说明理由.数列与数学归纳法专题检测题答案一、填空题1. 2 ；2.13q =；3.－6；4. 85；5.12；6.2n ；7.10 ；8.262n n -+；9.－9 （提示 81，－54，36，－24）；10.4 5 32； 二、解答题11.设数列{}n a 满足11111011=---=+nn a a a 且（1）求{}n a 的通项公式； （2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1,证明1<n S解：（1）由题设111111=---+nn a a即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n a 11是公差为1的等差数列。