题目：定积分在物理学中的应用作者姓名：学号：系(院)、专业：数学与统计学院数学与应用数学指导教师姓名：指导教师职称：2012年2月18日摘要定积分是高等数学的重要组成部分，在物理学中也有广泛的应用。

微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用的方法。

本文主要通过利用“微元法”的思想求变力做功、水压力、引力和转动惯量等物理问题，说明微元法关键是在局部是建立微元表达式，从而将所求物理问题转化为定积分。

关键词：定积分；物理应用；微元法ABSTRACTThe integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted integral .This paper mainly study the use of differential method, for example, the acting of variable force, water pressure, gravity and so on. It is important that established local and then changed the physical problem into integral.Keywords: integral; physics application; differential method目录1.引言 (1)2.定积分在物理学中的应用举例 (1)2.1变力做功 (1)2.2 抽水做功 (3)2.3液体的压力 (4)2.4引力问题 (6)2.5转动惯量 (7)3.结束语 (10)参考文献 (111)致谢 (11)定积分在物理学中的应用1.引言在物理学中，善于应用定积分解决实际问题是很重要的。

定积分的物理应用关键在于：首先对各种常用坐标系有整体概念，其次理解各种常用坐标系下的“数学微元”意义，如:微功、微压力、微引力等；第三对被解决的问题本身有着深刻的认识,进而求出变力做功、水压力、引力和转动惯量等物理问题。

用微元法解决实际问题的具体步骤如下：1） 根据实际问题，适当选择坐标系，画草图，并确定定积分变量及其变化区间[],a b ；2） 在区间[],a b 上取一点x ，其增量为dx （这里dx 应理解为在x 处的“长”或“宽”或“厚”等），求整体量的微元表达式()dQ f x dx =；3） 对()badQ f x dx =⎰从a 到b 积分，便得()b baaQ dQ f x dx ==⎰⎰.2.定积分在物理学中的应用举例下面举例说明微元法在物理中的一些应用,着重说明应用定积分求解物理问题的关键。

2.1变力做功例1：设物体在连续变力()F x 作用下在x 轴上由a 处移动到b 处，求()F x 所做的功。

解：由于力是一个连续变力，所求功是区间[]b a ,上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决。

利用微元法，由于变力()F x 是连续变化的，故可以设想在微小区间[]dx x x +,上作用力()F x 保持不变（“常代变”求微元的思想），按常力做功公式得这一段上变力做功的近似值。

图一如图所示建立坐标系，变力使物体从微小区间[]dx x x +,的左端点x 处移动到右端点dx x +处，所做功的近似值，即功微元为：()dw F x dx =.将微元dw 从a 到b 求定积分，得()F x 在整个区间上所做的功为：()baw F x dx =⎰.例2：在原点O 有一个带电量为q +的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力。

现有一个单位正电荷从距离原点a 处沿射线方向移动至距离O 点为)(b a b >的地方，求电场力做功？又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？ 解：取电荷移动的射线方向为x 轴正方向，那么电场力为2qF kx=（k 为常数）。

这是一个变力。

在[],x x dx +上， 以“常代变”得功微元为：2kqdW dx x =. 于是功为2111|bb a akq W dx kq kq x x a b ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 若移至无穷远处，则做功为21|a akq kqdx kq x x a+∞+∞=-=⎰. 物理学中，把上述移至无穷远处所作的功叫做电场在a 处的电位。

于是知电场在a 处的电位为kq V a=.2.2 抽水做功例3： 修建一座大桥的桥墩时要先下围囹，并且抽尽其中的水以便施工。

已知围囹的直径为20米，水深27米，围囹高出水面3米，求抽尽围囹中的水所做的功。

解：建立如图所示的坐标系。

图二取x 为积分变量，积分区间为[]3,30。

在区间[]3,30上任取子区间，与之对应的一薄层（圆柱）水的重量为()29.810dx ρπ.其中310ρ=千克/立方米为水的密度。

因把这一薄层水抽出围囹所做的功近似于克服这一薄层水的重量所作的功，所以功微元为()259.8109.810dW dx x xdx ρππ==⨯以59.810xdx π⨯为被积表达式，在区间[]3,30上做定积分，得所求功为()30552309339.810 4.910| 1.3710W xdx x ππ=⨯=⨯≈⨯⎰焦耳.2.3液体的压力从物理学中知道，在水深h 处的压强为p gh ρ=，其中ρ是水的密度，g 是重力加速度。

如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处，那么平板所受的水的压力是P pA =.如果平板铅直放置在水中，那么由于水深不同的点处p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述公式计算。

下面我们举例说明它的计算方法。

例4： 设一个横放的半径为R 的圆柱形水桶，里面盛有半桶水，计算桶的一个端面所受的压力（设水的密度为r ）。

解:桶的一端面是圆板，现在要计算当水面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力。

选取坐标系（如下图）。

圆方程222x y R +=，取x 为积分变量，在x 的变化区间[]0,R 内取微小区间[],x x dx +，视这细条上的压强不变，所受的压力的近似值，即压力微元为222dp r xdS rgx R x dx ρ==-于是，端面所受的压力为2202Rp rgx R x dx =-⎰()22220Rrg R x d R x =---⎰2233022|33R rgR x rgR ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦.图三例5：设有一竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐标系如图四所示。

当水面齐闸门顶时，求闸门所受的水的压力。

图四0,6。

在如图所示的坐标系中，AB的方解：取x为积分变量，积分区间为[]程为36xy =-+. 在区间[]0,6上取子区间[],x x dx +，与之对应的小薄片的面积近似于宽为dx ，长为2236x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的小矩形面积。

这个小矩形上受到的压力近似于把这个小矩形水平放置在距水面深度为x 的位置上一侧所受到的压力。

由于310ρ=，236x dA dx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，h x =,所以压力元为39.810236x dP x ⎛⎫=⨯⋅-+ ⎪⎝⎭239.81063x x d x⎛⎫=⨯⨯-+ ⎪⎝⎭. 以239.81063x x dx ⎛⎫⨯⨯-+ ⎪⎝⎭为被积表达式，在区间[]6,0上做定积分，得所求的水压力2639.81063x P x dx ⎛⎫=⨯⨯-+ ⎪⎝⎭⎰332609.8103|9x x ⎛⎫=⨯⨯-+ ⎪⎝⎭()359.810848.2310=⨯⨯≈⨯牛顿.2.4引力问题由万有引力定律，两质点之间的万有引力为122m m F G r =，若要计算细棒对质点的引力，须用微元法解决。

例6：设有质量为M ，长度为l 的均匀细杆，另有一质量为m 的质点位于同一直线上，且到杆的近段距离为a ，求杆对质点的引力。

解：取x 为积分变量，变化区间为[]0,l ，任意小段[],x x dx +近似于质点，且质量为Mdx l，则引力微元为图五()()22M mdx mMdx l dF G G x a l x a ==++ 则引力为()201l GmMF dx lx a =+⎰ 01|l GmMl x a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()GmM a a l =+. 2.5转动惯量在刚体力学中转动惯量是一个很重要的物理量，若质点质量为m ，到轴距离为r ，则该质点绕轴的转动惯量为2I mr =现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体的形状对称，并且质量均匀分布时，则可以用定积分来解决。

例7：一均匀细杆长为l ，质量为m ，试计算细杆绕过它的中点且垂直于杆的转动惯量。

解：选择坐标（如图）。

先求转动惯量微元dI ，为此考虑细杆上[],x x dx +一段，它的质量为m dx l，把这一小段杆设想为位于x 处的一质点，它到转动轴距离为x ，于是得微元为2m dI x dx l=. 沿细杆从2l -到2l 积分，得整个细杆转动惯量为 32222221|312ll l l m m x I x dx ml l l --===⎰. 例8：设有一个半径为R 质量为M 的均匀圆盘，(1)求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;(2)求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:(1)建立坐标系如图.设圆盘面密度为ρ.对应于[]dx x x +,的小圆环对轴l 的动惯量为32dI x dx πρ=,故圆盘对轴l 的转动惯量为340122R I x dx R πρπρ==⎰ 212MR = 2M R ρπ⎛⎫= ⎪⎝⎭.对应于[]dx x x +,的小圆环质量dx πρ2≈⑵取旋转轴为y 轴, 建立坐标系如图.对应于[]dx x x +,的平行y 轴的细条，关于y 轴的转动惯量元素为222222y dI yx dx x R x dx ρρ==-,故圆盘对y 轴的转动惯量为222222024R Ry R I x R x dx x R x dx ρρ-=-=-⎰⎰ ()422204sin cos sin R t tdt x R t πρ==⎰令 421144R MR ρπ== 2M R ρπ⎛⎫= ⎪⎝⎭.细条质量: dx y ⋅⋅2ρ3.结束语上述是定积分在物理学应用中的一些例子，本文是借助定积分在物理学应用中常见的几种例题加以分析说明，从而介绍了怎样应用定积分中的“微元法”思想来解决物理问题，并指出“微元法”在物理学的应用中应当注意的问题。

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