精品文档专题 39 数列与数学归纳法 【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性 问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围：关于正整数 n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设 n k 成立，再结合其它条件去证 n k 1成立即可.证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证 n n0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设 n k k n0,n N 成立，证明当 n k 1时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论： n n0, n N 时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从 n 1开始成立，可从任意一个正整数 n0 开始，此时归 纳验证从 n n0 开始 （2）归纳假设中，要注意 k n0 ，保证递推的连续性 （3）归纳假设中的 n k ，命题成立，是证明 n k 1命题成立的重要条件.在证明的过程 中要注意寻找 n k 1与 n k 的联系 4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设 n k 命题成立时，可 用的条件只有 n k ，而不能默认其它 n k 的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法 的补充，将归纳假设扩充为假设 n k ，命题均成立，然后证明 n k 1命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证 n n0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设 n k k n0,n N 成立，证明当 n k 1时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论： n n0, n N 时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳 精品文档精品文档 法，确认 n 的初始值 n0 不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】 例 1.【2018 届重庆市第一中学 5 月月考】已知 为正项数列 的前 项和，，记数列 的前 项和为 ，则的最小值为______.【答案】 【解析】分析：由题意首先求得 ，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解：由题意结合，以下用数学归纳法进行证明：当时，结论是成立的，假设当 时，数列的通项公式为：，则，由题意可知：，结合假设有：，解得：，综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知：，，精品文档精品文档利用等差数列前 n 项和公式可得：，则，结合对勾函数的性质可知，当 或 时，取得最小值，当时，当时，由于，据此可知的最小值为 .点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、 由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具 有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 例 2. 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，满足 Sn＝2an－2 (n∈N*)（1）求的值，并由此猜想数列{an}的通项公式 an；（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【答案】（1）；（2）见解析.当 n＝4 时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.由此猜想：(n∈N*)．(2)证明：①当 n＝1 时，a1＝2，猜想成立．精品文档精品文档②假设 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时，猜想成立，即，那么 n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak∴ak＋1=2ak，这表明 n＝k＋1 时，猜想成立，由①②知猜想成立．点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.例 3．已知数列 满足：，（Ⅰ）试求数列 ， ， 的值；（Ⅱ）请猜想 的通项公式 ，并运用数学归纳法证明之.【答案】（Ⅰ） （Ⅱ），，，证明见解析.. .由此猜想.下面用数学归纳法证明之：当时，，结论成立；假设 时，结论成立，即有，则对于时，精品文档精品文档∴当时，结论成立.综上，可得对，成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1、第一步：归纳奠基（即验证 时成立）；第二步：归纳递推（即假设 时成立，验证时成立）；3、两个条件缺一不可，在验证时成立时一定要用到归纳假设得到的形式应与前面的完全一致.时的结论，最后例 4.【2018 届浙江省温州市高三 9 月一模】已知数列 中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列 的前 项和为 ，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简，由 精品文档可得是等差数列；（3）由（2）可得，从而可得精品文档 求和公式可证结论.，先证明，利用放缩法及等比数列（2）由，得，所以 即， ，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，∴，因此，当 时，， ，精品文档精品文档即 时，，所以 时，，显然，只需证明 ，即可．当 时，．例 5.已知函数 f x ax b 2ln x, f 1 0x（1）若函数fx在 x 1处切线斜率为 0 ， an1f' an1 n1 n2 1 ，已知 a14，求证： an 2n 2（2）在（1）的条件下，求证： 1 1 L 1 21 a1 1 a21 an 5【答案】见解析下面用数学归纳法证明： an 2n 2 当 n 1时， a1 4 2n 2 成立 假设 n k k N 成立，则 n k 1时精品文档精品文档ak1 ak ak 2k 1 Q ak 2k 2ak1 2k 2 2 1 4k 5 2k 1 2n k 1时，不等式成立 n N , an 2n 2（2）Q an1 an2 2nan 1 an an 2n 1由（1）可知 an 2n 2 an1 2an 1 an112 an 11 an1 11 21 an 11 11 1 111L an 1 2 an1 1 22 an2 12n1 a1 1111 a1 1 a2L1 1 an1 11 L1 a1 2 1 2n 1 1 a1 1 1 2n 1 1 2 5 1 1 2n 2 52例 6．【浙江省绍兴市 2018 届 5 月调测】已知数列 中.（1）证明：；（2）设数列 的前 项和为 ，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析详解：（1）数学归纳法：①当 时，，，显然有.②假设当，结论成立，即，精品文档精品文档那么 即 综上所述， ，成立.（2）由（1）知：，即，，， ；点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合 函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为 背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．例 7．【福建省南平市 2018 届 5 月检查】己知函数 （Ⅰ）求函数 的单调区间；（Ⅱ）若函数 的最小值为-1，，数列 满足，. ，记， 表示不超过 的最大整数．证明：．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.精品文档精品文档详解：（Ⅰ）函数 的定义域为.1、当 时，，即 在上为增函数；2、当 时，令得 ，即 在同理可得 在 上为减函数.（Ⅱ）有最小值为-1， 由（Ⅰ）知函数即，则，上为增函数； 的最小值点为 ，令当 时， 所以当 时∵，∴， ，故 在上是减函数.（未证明，直接得出不扣分）则.由得，从而.∵，∴.猜想当时，.下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当 时，猜想正确.2、假设时，猜想正确.即时，.精品文档精品文档当时，有，由（Ⅰ）知 则是 上的增函数，，即，例 8.已知函数，在原点为常数且，（1）求 的解析式；处切线的斜率为 ．（2）计算，并由此猜想出数列（3）用数学归纳法证明你的猜想．的通项公式；，数列 满足【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．（2），则，精品文档精品文档，由此猜想数列的通项公式应为（3）①当 时，猜想显然成立，②假设时，猜想成立，即， ．，则当时，，即当时，猜想成立．由①②知，例 9.已知数列 是等差数列， (1)求数列 的通项公式 ；对一切正整数 都成立． .(2)设数列 的通项(其中 且 )记 是数列 的前 项和，试比较 与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）当 时，,当时，，证明见解析.详解：(1) 设数列{bn}的公差为 d,由题意得 精品文档,∴bn=3n－2 .精品文档(2)证明：由 bn=3n－2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+ )…(1+)］而 logabn+1=loga,于是，比较 Sn 与 logabn+1 的大小比较(1+1)(1+ )…(1+)与取 n=1，有(1+1)=的大小取 n=2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+ )…(1+)＞(*)①当 n=1 时，已验证(*)式成立②假设 n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+ )…(1+)＞则当 n=k+1 时，, 即当 n=k+1 时，(*)式成立 由①②知，(*)式对任意正整数 n 都成立 于是，当 a＞1 时，Sn＞ logabn+1 ,当 0＜a＜1 时，Sn＜ logabn+1 . 例 10.【2018 年浙江省高考模拟】已知数列 xn 满足： x1 1, xn xn1 xn1 1 1 .证明：当 n N* 时， （1） 0 xn1 xn ；精品文档精品文档（2） 3xn1 2xnxn xn1 3；（3） 2 3n1 xn 2 3n2 .【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析由数列的递推式，以及（2）的结论可得1 xn11 33 2 1 xn13 0 ，根据等比数列的通项公式即可证明xn 3 2n2 ，再结合已知可得xnxn1xn1113 2xn1，即可证明不等式成立.详解：（1）数学归纳法证明： xn 0当 n 1时， x1 1 0 成立假设 n k 时 xk 0 ，成立，那么 n k 1 时，假设 xk1 0 ，则 xk xk1 xk1 1 1 0 ，矛盾所以 xk1 0 ，故 xn 0 得证所以 xn xn1 xn1 1 1 xn1 ，故 0 xn1 xn（2）由 xn xn1 xn1 1 1 得 xn xn1 9xn1 6xnx2 n1xn1 6xn 1 4xn1 6设 f x x2 x 6 x 1 4x 6(x 0)则f 'x 2x x 1 x 6 4 2 x 15 2 x 11 x1 2 x11 42 49 8精品文档精品文档（3）由（2）得1 xn11 332 1 xn13 0 ，则1 xn1 3 1 x11 3 3 2n1 3 2n2 所以xn 3 2n2 又x 1 1 1 x x 0 ，所以2xn1111 2xn1，所以xn xn1 xn11 1 3 2xn1 ，故xn12 3xn所以xn 2 3n1 ，所以 2 3n1 xn 2 3n2 【精选精练】1．用数学归纳法证明“”时，由【答案】时等式成立推证时，左边应增加的项为__________ .精品文档精品文档点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得 到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．【答案】【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为 8，公差为 6，因此第 n 项为x+kw3．已知数列 中，且.（1）求 ， ， ；（2）根据（1）的结果猜想出 的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；（3）若，且【答案】（1）；（2），求.，证明见解析；（3） .（2）由此猜想.下面用数学归纳法加以证明：①当时，由（1）知成立；②假设，结论成立，即成立.精品文档精品文档则当时，有，即即时，结论也成立；由①②可知， 的通项公式为.（3）由（2）知，4．已知数列 的前 项和为 ，且满足，（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 数学归纳法证明猜想的结论.. .. （2）用精品文档精品文档由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当 时，显然成立，②假设当 由题意得时猜想成立，即， ，∴，∴ ∴当， 时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.点睛：（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到 式解题.或 ，要注意联想到项和公5．已知数列 满足，.精品文档精品文档（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式； （2）用数学归纳法证明你猜想的结论. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，①当 时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.6．已知数列 满足且.（1）计算 、 、 的值，由此猜想数列 的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．【答案】（1） ，；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由,计算出 、 、 的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于纳法证明即可.①当 时，证，将代入上式 ，用数学归精品文档精品文档即当时，结论也成立，由①②得，数列 的通项公式为.7．在数列 中，，（ ）计算 ， ， 的值．， ，， ．（ ）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】（1） ， ， ；（2），证明见解析.（ ）由（ ）可猜想：，证明：当 时，，等式成立，假设 时，等式成立，即． 精品文档，则当时，，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，精品文档8．已知数列数列{an}的通项公式 an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn 为其前 n 项和． (1)求 S1，S2，S3，S4 的值； (2)猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)根据 an 1n 2n 1 ，代入 n 1, 2,3, 4 计算，可求 S1, S2 , S3, S4的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想 Sn 的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验 n 1 时等式成立，假设 n k 时命题成立，证明 n k 1 时命题也成立即可.试题解析：(1)依题意可得 S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5 ＋7＝4； (2)猜想：Sn＝(－1)n·n. 证明：①当 n＝1 时，猜想显然成立； ②假设当 n＝k 时，猜想成立，即 Sk＝(－1)k·k， 那么当 n＝k＋1 时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)． 即 n＝k＋1 时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立.【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用.9．设 t 0 ，fxttx x，令a11，an1 f an ，n N . （1）写出 a2 ， a3 ， a4 的值，并猜想数列 an 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论. 【答案】(1)a1＝1，a2＝tt 1，a3＝t2t2 2t；a4＝ t3t3 3t 2，猜想 an＝ t n1t n1 n 1t n2（n∈N+）；(2)证明见解析.精品文档精品文档试题解析：（1）∵a1＝1，∴a2＝f（a1）＝f（1）＝ t ， t 1a3＝f（a2）＝t2t2 2t；a4＝f（a3）＝t3t3 3t 2， 猜想 an＝ tn1 t n1 n 1t n2（n∈N+）；（2）证明：①易知，n＝1 时，猜想正确. ②假设n＝k 时猜想正确，即ak＝ t k1 t k1 k 1t k 2， 则 ak＋1＝f（ak）＝ t ak t akt t k1 t k 1 k 1t k 2=t t k1 t k 1 k 1t k 2= tktk kt k1.这说明 n＝k＋1 时猜想正确. 由①②知，对于任何n∈N+，都有an＝ t n1 t n1 n 1t n2.点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证 明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．10.【2017 浙江，22】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（ n N ）．证明：当 n N 时，精品文档精品文档（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1− xn≤ xn xn1 ； 2（Ⅲ）1 2n1≤xn≤1 2n2．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】（Ⅱ）由 xn xn1 ln(1 xn1) xn1 得xn xn1 4xn12 xnx2 n1 2xn1( xn 12) ln(1xn 1 )【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用， 精品文档精品文档同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数 f (x) x2 2x (x 2) ln(1 x)(x 0) ，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明． 11．【2018 届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列an的首项a11 2，1 an11 2 an1 an ,nN*.（Ⅰ）证明： 0 an 1 ； （Ⅱ）记 bn an an1 an an 12， Tn 为数列bn的前n项和，证明：对任意正整数 n，Tn3 10.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析; （I）运用数学归纳法推理论证， （Ⅱ）由已知 an1an2 an2 11，即an1an ，可得数列an为递增数列.又1 an1 an11 an12 an1 an 12 1 an an ，易知 1 an an 为递减数列，试题解析：（Ⅰ）证明：①当 n 1 时显然成立； ②假设当 n k k N* 时不等式成立，即 0 ak 1 ，那么当 n k 1时，1 ak 11 2 ak 1 ak 1·2 21ak? ak 1，所以 0 ak1 1 ，即 n k 1时不等式也成立.综合①②可知， 0 an 1 对任意 n N* 成立.精品文档精品文档 （Ⅱ）an1 an2 an2 1 1 ，即 an1an ，所以数列an为递增数列.又1 an1 an11 an1 2 an1 an 12 1 an an ，易知 1 an an 为递减数列，所以 1 an1 an1 也为递减数列，所以当 n 2 时， 1 1 an an11 2 1 a2a2 1 2 5 44 5 9 40 所以当 n 2 时，bn an an1 2 an an 1an1 an 1 an1 an1 9 40an1 an当 n 1时，TnT1b19 403 10，成立；当 n 2 时， Tn b1 b2 L bn9 409 40 a3a2a4a3L an1 an 9 409 40 an1a29 409 401a29 409 401 4 5 27 1003 10综上，对任意正整数 n ，Tn3 1012．已知，.（1）若，求 的值；（2）若 （3）若 是，求 的值； 展开式中所有无理项的二项式系数和，数列 是各项都大于 1 的数组成的数列，试用数学归纳法证明:.【答案】（1）. （2）165.（3）见解析.精品文档精品文档所以 （3）因为所以. ，所以要得无理项， 必为奇数，，要证明，只要证明 （Ⅰ）当时，左边=右边，当 时，∴时，不等式成立.，用数学归纳法证明如下： ，精品文档精品文档 综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立.∴不等式成立 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用、初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设 时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.精品文档。