e 2 2
2
(e表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中， 为总体均数， 为总体标准差。
5
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
6
方差相等、均数不等的正态分布图示
3 1 2
7
均数相等、方差不等的正态分布图示
2
1 3
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
1
正态分布
德国数学家Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。

8
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置 参数(均数)和变异度参数(标准差)。
高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
9
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
21
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u

X


）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
22
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
首先计算标准离差：u 2500 3150 1.86 350
24
估计频数分布
首先计算标准离差：
u 132.00 142.67 1.78 6.00
查标准正态分布表: (-1.78)=0.0375(3.75
％) 结果：该地12岁男童身高在132cm以下者，
估计约占3.75％。
25
估计频数分布
X us
X ±1.00s X ±1.96s X ±2.58s
u0
19
总结
正态分布是描述个体变异的重要分布之一， 也是统计学理论中的重要分布之一；
正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均 数和标准差；
正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标 准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态 离差为单位)。
20
正态分布的应用
➢ 估计频数分布 ➢ 质量控制 ➢ 确定临床参考值范围

10
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
11
正态曲线下的面积规律
2.5%
95%
2.5%
-1.96

+1.96
12
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64

+1.64
13
正态曲线下的面积规律
0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
表 2.7 120 名 12 岁男童身高的分布比较
身高范围(cm)
实际分布
人数
百分数(％)
136.67～148.67
86
71.67
130.91～154.43
114
95.00
127.19～158.15
118
98.33
理论分布(%)
2
正态分布重要性
其一，医学研究中的某些观察指标服从或近 似服从正态分布；
其二，很多统计方法是建立在正态分布的基 础之上的；
其三，很多其他分布的极限为正态分布。
3
身高的分布
(a) (c)
(b)
(d)
4
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X)
1
( X )2
0.5%
-2.58
99%

0.5%
+2.58
14
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相
等； 对任意正态;1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。
查标准正态分布表: (-1.86)=0.0314
结果：估计低体重儿的比例为3.14%.
23
估计频数分布
例 已 知 某 市 120 名 岁 男 童 身 高 均 数 为 =142.67cm， 标准差为 s=6.00cm。设该资 料服从正态分布，试求① 该地12岁男童身 高在132cm以下者占该地12岁男童总数的比 例，② 分别求 ±1s、 ±1.96s和 ±X 2.58sX 范围内12岁X 男童占该组儿童总数的实际百分 数，并与理论百分数比较。
15
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均 数为0，标准差为1的正态分布。
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。
概率密度函数：
( X ) 1 eu2 2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
16
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
u X
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
17
正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经u变换后，就可把 求解任意一个正态分布曲线下面积的 问题，转化成标准正态分布曲线下相 应的面积问题。
18
标准正态分布曲线下面积(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 -1.9 -1.6 -1.0 -0.5 0