江苏省盐城中学2020-2021学年度高三一模数学模拟练习一 2021.02.18注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 设集合A ＝{}02x x <<，B ＝104x xx ⎧-⎫≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A B ＝（ ） A ．(0，1] B ．(0，1) C ．(0，4) D ．(0，4]2． 复数z 满足z (1＋i)＝1﹣i ，则z 的虚部等于( )A ．﹣iB ．﹣1C ．0D ．13． 设随机变量)1,(~μξN ，函数2()2f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则P(0＜ξ≤1)＝（ ）附：若),(~2σμξN ，则P (μσ-＜X ≤μσ+)≈0.6826，P (2μσ-＜X ≤2μσ+)≈0.9544．A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34134． 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()1f x x =- B ．1()1f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+5． 2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．144种6． 若函数()f x 满足：对定义域内任意的1x ，2x (1x ≠2x )，有1212()()2()2x x f x f x f ++>，则称函数()f x 具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是（ ）A ．1()()2x f x =B ．()ln f x x =C 2()(0)f x x x =≥D ．()tan (0)2f x x x π=≤<7． 如图，已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，连接AF 2，BF 2，在△ABF 2中，sin 2ABF 2∠＝14，2AB BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．28． 已知函数()(1)e x f x a x x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[12e -，334e )B ．[334e ，223e )C ．[223e ，12e )D ．[12e ，12)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9． 设a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，则（ ）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8 D ．24a b +的最小值为2210．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，且A(4p ，a )，3AF 2=.下列结论正确的是（ ）A ．p ＝4B ．2a =±C ．BF ＝3D ．△AOB 的面积为3212．已知函数()sin cos (sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在(0，4π)上单调递增 B ．()f x 周期函数，且周期为2π C ．直线x ＝4π是()f x 的对称轴 D ．函数()()1g x f x =+在(﹣π，π)上有且仅有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．定义在实数集R 上的可导函数()f x 满足：(1)1f =，()20f x x '+>，其中()f x '是()f x 的导数，写出满足上述条件的一个函数 ．14．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE EC =，CD 2CF =，则AE AF +=____________.315．A ，B ，C ，D 为球面上四点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，以MN 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”，若三棱锥A —BCD 的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB ，CD 的长度分别为27和43，则AB ，CD 的伴随球的体积的取值范围是16．如图所示，在平面直角坐标系中，250,5Q ⎫⎛-⎪ ⎪⎝⎭，()3,0L -，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切.则（1）圆L 的半径等于__________；（2）已知过点L 和抛物线()220x py p =>焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且3OA OB ⋅=-，则p =______．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(3b ﹣c sinA)sinC ＝c (1﹣cosAcosC)． （1）求B 的值；（2）在①S △ABC ＝93，②A ＝4π，③a ＝2c 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b ＝3， ，求△ABC 的周长．18．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =-⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．如图，在四棱锥S —ABCD 中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，底面为直角梯形，且∠ABC＝90°，AB ＝AD ＝12BC ，CD ＝SD ，点M 是SA 的中点．（1）求证：BD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60°，求SD 与平面MBD 所成角的正弦值．20．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y (秒) 与训练天数x (天)有关，经统计得到如下数据：x （天）1 2 3 4 5 67y （秒）99 99 4532 302421现用y a x=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒(精确到1) ? 参考数据（其中1i iz x =） 71i ii z y =∑z72217i i zz =-⨯∑184.50.370.55.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点A(2，3)，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N ，满足直线AM ，AN 的斜率之和为﹣3，求点B 到直线MN 距离的最大值．22．已知函数()(0)ln axf x a x=>．（1）当函数()f x 在1ex =处的切线斜率为﹣2时，求()f x 的单调减区间；（2）当x ＞1时，ln()e ln x x xa f x x≥⋅，求a 的取值范围．盐城中学2020-2021学年度高三一模数学模拟练习一答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9.【答案】ABD 10.【答案】 BD 11.【答案】BCD 12.【答案】BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13.【答案】2()2f x x x =-+ 14.【答案】315.【答案】[6π，1256π] 16.【答案】(1). (2). 2四、解答题：17. 【解析】（1）因为)cos cos 1(sin )sin 3(C A c C A c b -=-，可得0)cos(sin 3=-++c C A c C b ，即C B B C sin )cos sin 3(sin =-，因为),0(π∈C ，0sin ≠C 所以1)6sin(2cos sin 3=-=-πB B B ，即21)6sin(=-πB ， 因为π<<B 0，6566πππ<-<-B ，所以66ππ=-B ，可得3π=B ，（2）若选择条件①，因为439=∆ABC S 321πacsom =，所以9=ac ， 由余弦定理可得21293cos 22=-+=ac c a π，所以1822=+c a 可得36)(2=+c a ， 又0>+c a ，解得6=+c a ，因此△ABC 的周长为9=++c b a ；若选择条件②4π=A ，在△ABC 中，由正弦定理可得3sin3sin sin sin π===CcB b A a 32=所以64sin 32==πa ，2623)43sin(32+=+=ππc所以△ABC 的周长为266323262336++=+++=++c b a ； 若选择条件③c a 2=，由余弦定理可得21293cos 22=-+=ac c a π， 所以222294c c c =-+，即32=c ，解得3=c ，32=a ，因此△ABC 的周长为333+=++c b a ．18. 【解析】（1）因为2n S n =所以)2()1(21≥-=-n n S n所以121-=-=-n S S a n n n )2(≥n ， 当1=n 时，111==S a 适合上式， 所以12-=n a n（2）若选①：因为2221)12()12(8)(8+-==+n n n a a n b n n n 22)12(1)12(1+--=n n 所以222222)12(1)12(1...51313111+--++-+-=n n T n若选②：因为nn n n n a b 2)12(2-=⋅=所以nn n n n T 2)12(2)32(...252321132⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=-则14322)12(2)32(...2523212+⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T两式相减可得：121322)2(212822)12(22....22222+++⋅----+=⋅--⋅++⨯+⨯+=-n n n n n n n T12)32(6+⋅---=n n所以12)32(6+⋅-+=n n n T若选③：2)1(n b n n ⋅-= ，当n 为偶数时，])1([...)34()12()1(...4321222222222222--++-+-=+---+-+-=n n n n T n 2)1(2)123(212...73+=-+=-+++=n n n nn 当n 为奇数时，2)1(2)1(221+-=--=-=-n n n n n n T T n n 综上：2)1()1(+⋅-=n n T n n19. 【解析】（1）取BC 的中点E ，连接DE ，设AB ＝a ，则AD ＝a ，BC ＝2a ，BE ＝12BC ＝a ，∵∠ABC ＝90°，AD ∥BE ，AD ＝BE ，∴四边形ABED 是正方形，∴BD，DE ⊥BC ，DE ＝CE ＝a ，∴a CD 2=，∴222BC CD BD =+，故BD ⊥CD ，∵平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD ＝CD ，BD ⊂平面ABCD ， 且BD ⊥CD ，∴BD ⊥平面SCD ；（2）过S 作SN ⊥CD ，交CD 延长线于N ，∵平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD ＝CD ，SN ⊂平面SCD ，SN ⊥CD ， ∴SN ⊥平面ABCD ，∴∠SDN 为直线SD 与底面ABCD 所成的角，故∠SDN ＝60°， ∵SD ＝CD，∴DN ＝a 22，SN ＝26a ， 以D 为原点，以DB ，DC ，及平面ABCD 的过点D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D —xyz ， 如图所示，则)0,0,2(a B ，)0,0,0(D ，)0,22,22(a a A -，)26,22,0(a a S - ∵M 是SA 的中点，)46,22,42(a a a M -∴ ∴)26,22,0(a a -=，)0,0,2(a =，)46,22,42(a a a DM -= 设平面MBD 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=046224202az ay ax ax ，令z ＝2可得)2,3,0(=， ∴14212726||||,cos =⨯=>=<a aDS n DS n ， ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为1421,cos |>=<．20. 【解析】（1）由题意可知：50721243032459999=++++++=y ，10055.05555.05037.075.18477712271^==⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii zz yx yz b ，所以1337.010050=⨯-=-=z b y a ，因此y 关于x 的回归方程为xy 10013+=， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒； （2）由题意可知：X 的可能取值为3，4，6，9，P （X ＝3）＝916614=⨯A ，P （X ＝4）92662`4=⨯=A ，P （X ＝6）9566)1(14121214=⨯++=A A A A ，P （X ＝9）91661212=⨯=A A ，所以X 的分布列为：数学期望为999969493)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E21【解析】（1）由题222224122491b c a a c b a c a b ⎧⎪+==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩ 所以C 的标准方程为1121622=+y x （2）若直线MN 斜率不存在，设),(),,(0000y x N y x M -，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+--=+0432323112160000002020y x x y x y y x ，此时N M ,重合，舍去. 若直线MN 斜率存在，设),(),,(2211y x N y x M t kx y MN ，：+=，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 1121622得04848)34(222=-+++t ktx x k ，所以21212228448,,04343kt t x x x x k k -+=-=∆>++ , 由题323232211-=--+--x y x y ，即323232211-=--++--+x t kx x t kx 化简得.0244))(92()32(2121=+-+--++t x x k t x x k因此.0244)348)(92(34484)32(222=+-+---++-+t k ktk t k t k 化简得0686822=---++t k t kt k 即0)24)(32(=++-+t k t k 若032=-+t k ，则32+-=k t ，直线MN 过点)3,2(A ，舍去， 所以024=++t k ，即24--=k t ，因此直线MN 过点)2,4(-P . 又点)0,4(B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2=BP , 此时2-=y MN ：，符合题意.所以点B 到直线MN 距离最大值为2 )．因为．所以1a =． 21．令('f x （2）由题()lnln x xa f x e x≥⋅对任意),1(+∞∈x 恒成立所以ln ln xae x a ≥-对任意),1(+∞∈x 恒成立法一：所以()ln ln ln a xe a x x x +++≥+对任意),1(+∞∈x 恒成立所以()ln ln ln ln a xx ea x e x +++≥+对任意),1(+∞∈x 恒成立令()xg x e x =+ 则()()ln ln g a x g x +≥对任意),1(+∞∈x 恒成立 因为()'10xg x e =+>，所以()g x 在R 上单调增所以ln ln a x x +≥对任意),1(+∞∈x 恒成立，所以()()max ln ln 1a x x x ≥->令()()ln 1h x x x x =->，因为()'1110x g x x x-=-=< 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以()()11g x g <=-所以ln 1a ≥-即1a e≥法二：设)1(ln ln )(>+-=x a x ae x h x，则01)(''1)('2>+=-=x ae x h xae x h x x ，， 所以)('x h 在),1(+∞单调递增，又1)1('-=ae h若ea 1≥，则0)1('≥h ，所以0)('≥x h 恒成立，所以)('x h 在),1(+∞单调递增， 又011ln )1(=-≥+=a ae h ，所以0)(≥x h 恒成立，符合题意.若ea 10<<，则011ln )1(=-<+=a ae h ，不符合题意，舍去.综上所述，ea 1≥.。