江苏省盐城中学2015届高三第一次阶段考试数学（文）试题一、填空题：1.设全集为R ，集合}41|{<<=x x A ，集合}03|{≤-=x x B ，则⋂A (∁B R )=________▲___}43|{<<x x2.命题“对∀R x ∈，都有02≥x ”的否定为______▲____R x ∈∃，使得0<x3.已知α是第二象限角，且35sin(),πα+=-则2tan α=_____________ 4.等比数列{}n a 中，63=a ，前三项和183=s ，则公比q 的值为 21-或1 ． 5.已知向量)1,3(=，)1,0(-=，)3,(k =，若//)2(-，则实数=k __▲___16.直线01=++y x 被圆0152622=---+y x y x7.已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 ▲ .43443PQ a a k -==- 8. 过原点作曲线xe y =的切线，则此切线方程为________▲_________012ln =-+y x9.设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则11x y+的最小值是 ▲ .3210.函数]2,0[,sin 21π∈-=x x x y 的单调增区间为______▲________)35,3(ππ 11. 已知函数x x x x f co s 43sin 4121)(--=的图像在点()00,y x A 处的切线斜率为21，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4t an 0πx2+．12.设)(x f 是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间]2,0()0,2[⋃-，⎩⎨⎧≤<-<≤-+=20,102,)(x ax x b ax x f ，则=)2015(f ____▲_____2113.已知点()3,4P 和圆()22:24C x y -+=，,A B 是圆C 上两个动点，且AB =，则()OP OA OB ⋅+ (O为坐标原点)的取值范围是 . [2,22]14. 如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么b a 的取值范围 ▲ .34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题：15. 设集合{}21A x x =-<<-，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当a =1时，求集合B ；（2）当A B B =时，求a 的取值范围． 解：（1）}31|{<<=x x B （2）321-≤≤-a15. 设函数2()sin(2++cos cos 6f x x x x x π=）.(1). 已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； (2). 设,,A B C 为ABC ∆的三个内角，若15cos ,()=322C B f =，求sin A .解：（1）cos ()cos x f x x x x +=+++1122222222cos x x ++1222＝sin()x π++12262所以函数f(x)的最大值是52，最小正周期为π。

（2）()2c f =sin()C π++1262=52, 所以sin()16C π+=,又C 为∆ABC 的内角 所以3C π=,又因为在∆ABC 中, cosB=31, 所以 s i n B = 所以11sin sin()sin cos cos sin 23A B C B C B C =+=+=+=17.设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，245S S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，n n b n T 2=，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设))(1(λ-+=n n n nb S C ，若数列{}n C 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．（Ⅰ）由245S S =，,0>q 得 12,2-==n n a q又11)1(11212+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==---n n b b b n T b n T n n n n nn （)1>n ， 则得)1(23142132111232211+=⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅⋅-----n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n n 所以)1(2+=n n b n ，当1=n 时也满足．（Ⅱ）12-=n n T ，所以)12(2λ-+=n C nn ，使数列{}n C 是单调递减数列， 则0)1224(21<-+-+=-+λn n C C nn n 对*∈N n 都成立， 即max )1224(01224+-+>⇒<-+-+n n n n λλ， n n n n n n n 232)2)(1(21224++=++=+-+， 当1=n 或2时，,31)1224(max =+-+n n 所以31>λ．18.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图： 图①的过水断面为等腰,,BC AB ABC =∆过水湿周BC AB l +=1．图②的过水断面为等腰梯形,60,//,,0=∠=BAD BC AD CD AB ABCD 过水湿周CD BC AB l ++=2．若△ABC 与梯形ABCD 的面积都为S .图① 图②（1）分别求1l 和2l 的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．（1）在图①中，设∠θ=ABC ，AB ＝BC ＝a ． 则θsin 212a S =，由于S 、a 、θsin 皆为正值， 可解得S Sa 2sin 2≥=θ．当且仅当1sin =θ，即θ＝90°时取等号． 所以S a l 2221≥=，1l 的最小值为S 22． 在图②中，设AB ＝CD ＝m ，BC ＝n ，由∠BAD ＝60° 可求得AD ＝m ＋n ，m n m n S 23)(21⋅++=， 解得232mm S n -=．m n m l 222=+= S S mm S m m S 432322332232=≥+=-+，2l 的最小值为S 432．当且仅当2332m m S =，即334Sm =时取等号． （2）由于432>，则2l 的最小值小于1l 的最小值． 所以在方案②中当2l 取得最小值时的设计为最佳方案19.已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足5452S a a =+，934a a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；（3）是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.20. 已知函数()()ln 0f x x x =>．（1）求函数()()1g x f x x =-+的极值；（2）求函数()()()h x f x x a a =+-为实常数的单调区间；（3）若不等式()()()2211x f x k x -≥-对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g′（x ）＝1x －1＝1－x x ，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0；当x ＞1时，g′（x ）＜0，可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值．（2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h′（x ）＝1x －1＝1－x x．当0＜a ≤1时，h′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h′（x ）≤0， 所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减．综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．（3）不等式（x2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立， 即（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立． 当0＜x ＜1时，x2－1＜0；lnx ＜0，则（x2－1）lnx ＞0； 当x ≥1时，x2－1≥0；lnx ≥0，则（x2－1）lnx ≥0． 因此当x ＞0时，（x2－1）lnx ≥0恒成立．又当k ≤0时，k （x －1）2≤0，故当k ≤0时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2恒成立． 下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，（x2－1）lnx －k （x －1）2＝（x2－1）[lnx －k(x －1)x ＋1]．设h （x ）＝lnx －k(x －1)x ＋1（ x ＞0且x ≠1），h′（x ）＝1x －2k(x ＋1)2＝x2＋2(1－k)x ＋1x(x ＋1)2．记△＝4（1－k ）2－4＝4（k2－2k ）．①当△≤0，即0＜k ≤2时，h′（x ）≥0恒成立，故h （x ）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h （x ）＜h （1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx ＞k （x －1）2． 当x ＞1时，h （x ）＞h （1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx ＞k （x －1）2． 又当x ＝1时，（x2－1）lnx ＝k （x －1）2．因此当0＜k ≤2时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．②当△＞0，即k ＞2时，设x2＋2（1－k ）x ＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）． 函数φ（x ）＝x2＋2（1－k ）x ＋1图像的对称轴为x ＝k －1＞1， 又φ（1）＝4－2k ＜0，于是x1＜1＜k －1＜x2．故当x ∈（1，k －1）时，φ（x ）＜0，即h′（x ）＜0，从而h （x ）在（1，k －1）在单调递减；而当x ∈（1，k －1）时，h （x ）＜h （1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1） h （x ）＜0，即（x2－1）lnx ＜k （x －1）2，因此当k ＞2时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 不恒成立．综上，当（x2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立时，k ≤2，即k 的取值范围是（－∞，2]．。