第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。

若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。

(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。

)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。

3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。

（2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰，1a 、2a 为复常数。

（3）()()()12C C C f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接而成。

（4）()()C C f z dz f z dz -=-⎰⎰, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。

4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ⎰时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()CCfz dz fz dz -=-⎰⎰ ）。

以后凡遇围道积分，如不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。

( C 为逆时钟方向，C -代表顺时钟方向)例： 试证()21)0(1)nli n dzn n z a π=⎧=⎨≠-⎩⎰（为的整数，l 为以z a =为圆心，ρ 为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。

证：l 的参数方程为i z a e θρ-= ()πθπ-≤≤，在l 上，i dz i e d θρθ=。

当1n =时，2i i ldzi e d i d i z ae θππθππρθθπρ--===-⎰⎰⎰。

当n 为1n ≠的整数时，()()11i i n nn in n ldzi e d i e d e z a θππθθππρθθρρ-----==-⎰⎰⎰ ()()1111i n n e n πθπρ----=--()()()11111101n n n n ρ---⎡⎤=----=⎣⎦-。

§3-2 柯西定理及其推广【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 31-36】柯西定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系，与涉及的区域有关。

单连通区域内任一闭曲线可连续收缩为一点，简而言之区域内没“空洞”。

复连通区域（或称多连通区域）内至少有一闭曲线不能连续收缩为一点，简而言之区域内有“空洞”。

(一) 单连通区域中的柯西定理若()f z 在单连通区域D 内解析，l 是D 内的任一围线（闭合曲线），则:()0lf z dz =⎰。

证明： 由于()f z 在D 上解析， 意味着()f z '在D 上各点均存在，实部u 、虚部v 有连续偏导数（即u x ∂∂、vx∂∂、u y ∂∂、v y ∂∂在D 上连续）并满足C-R 条件。

()()(),,f z u x y iv x y =+，dz dx idy =+，()()()lllf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰。

由于实部u 、虚部v 满足C-R 条件，u v x y∂∂=∂∂， u vy x ∂∂=-∂∂, 而由实变函数线积分的格林定理：()0l D v u udx vdy dxdy x y '⎛⎫∂∂-=-+= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， D '为l 所围单连通区域（C －R 条件） ()0l D u v vdx udy dxdy x y '⎛⎫∂∂+=-=⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， D '为l 所围单连通区域（C －R 条件） ()0lf z dz ∴=⎰。

定义：函数()f z 在闭区域-D 内解析, 是指()f z 在区域D 内以及它的边界l上的每一点都是解析的. ( 闭区域-D : D D l -=+) 。

一种等价的说法： 如果函数()f z 在包括区域D 和它的边界在内的更大一些 的区域内解析，就称它为在闭区域-D 内解析。

单连通区域中柯西定理的另外一种表述：如果函数()f z 在闭曲线l 所围的闭单连通区域内解析，则函数()f z 沿 闭曲线l 的积分等于零: ()0lf z dz =⎰。

柯西定理的几个推论：（1） 在()f z 解析的单连通区域内，()f z 沿任一曲线l 的积分，只依赖于l 的起点和终点，而与l 的具体形状无关。

即若()f z 在单连通区域D 内解析，1l 、2l 是D 内有相同端点的任意两条曲线，则:()()12l l f z dz f z dz =⎰⎰。

证明：因为1l 、2l 的端点相同，所以1l 与2l -组成一围线。

由柯西定理：()120l l f z dz -+=⇒⎰()()()122l l l f z dz f z dz f z dz -=-=⎰⎰⎰。

（2）当积分的端点不动，而积分路线在()f z 解析的区域内连续地变形时，积分之值不变；（3）沿闭合回路的积分，当积分回路在()f z 解析的区域内连续地变形时，积分之值不变。

（ 连续变形 — 闭合回路变形时不能跨过()f z 不解析的区域。

）(二) 复连通区域中的柯西定理对于复连通区域， 可以作一条或多条辅助线（割线）使之变成一个单连通区域， 然后再应用单连通区域中的柯西定理， 就可以得到复连通区域中的柯西定理。

复连通区域中的柯西定理两种表述：(1) 在闭复连通区域中解析的函数， 沿所有边界线的正方向的积分之和为零：()01...0n C C C fz dz--+++=⎰(2) 在闭复连通区域中解析的函数，按逆时钟方向沿外边界线的积分等于按逆时钟方向沿所有内边界线的积分之和：()()01inC C i f z dz f z dz ==∑⎰⎰说明：当沿某一方向沿边界线环行时，如果所包围的区域始终在边界线的左边，则该方向称为边界线的正方向；相反的方向则称为边界线的逆方向。

例1： 计算()nldzz a -⎰ ，l 为不通过z a =点的围线。

解：z a =是()()1nf z z a =-的一个奇点，(1) 若l 没有包围点z a =，则()()1nf z z a =-在l 所包围的区域上是解析的,从而()0nldzz a =-⎰（l 不包围z a =）。

(2) 若l 包围z a = 【z a =是()1nz a -的奇点】，作以z a =为圆心的圆周1l 包围a ，则由上述的公式得：()()1nnll dzdzz a z a =--⎰⎰。

由前面的例子可得:()12101nl i n dzn n z a π=⎧=⎨≠-⎩⎰，，为的整数， ()2,10,1nli l z a n dzn n l z a z a π==⎧∴=⎨≠=-⎩⎰，当包围且当为的整数，或不包围。

例2 ：计算()2dzz z Γ-⎰的值，Γ为包含圆周1z =在内的任何一条正向简单闭曲线。

解：在圆周1z =内分别以=0z 和=1z 为圆心、画出半径充分小的两个辅助小园，它们完全包含于圆周1z =.根据复连通区域的柯西定理，有：()()()12222c c dz dzdz z z z z z z Γ=+---⎰⎰⎰11221111102200c c c c dzdz dz dz dz z zz zi i ππ=-+---=-+-=⎰⎰⎰⎰例3．设C 为单位圆周1z =，计算下列积分：（1）2Cdz z +⎰； （2）cos C dz z ⎰； （3）12C dz z +⎰； （4）2252C dzz z ++⎰。

解： （1）20,z += 奇点2z =-在C 外，积分 = 0； （2）cos 0, 2, 12z z k z ππ==±>， 奇点在C 外，积分 = 0；（3）110, 122z z +==<，奇点在C 内，积分 = 2i π； （4）被积函数有两个奇点：2252(21)(2)0z z z z ++=++=，1210, 1, 20, 212z z z z +==<+==>， 一个奇点在C 内，另一个奇点在C 外2252(21)(1)CCdzdzz z z z =++++⎰⎰111()1322C dz z z =-++⎰ 123i π=(三) 原函数的概念若'()()F z f z =，则称F (z )是f (z )的原函数，其中z ∈B ，B 是单连通区域。

设 f (z )是单连通区域B 内的解析函数，由Cauchy 定理知：沿B 内任一路径的积分()lf z dz ⎰只与起点、终点有关，而与积分路径无关，因此当起点0z B ∈固定时，该积分就定义了一个关于终点z 的单值函数：0()()zz F z f d ξξ=⎰. 则F (z )就是 f (z )的原函数: '()()F z f z =。

由于()F z 是f (z )的一个原函数，所以()F z C +（C 是任意常数）构成原函数族，则有：()()zz f d F z C ξξ=+⎰在上公式中令0z z =，则有0()0F z C +=，0()C F z =-， 从而：0()()()zz f d F z F z ξξ=-⎰（ 解析函数的定积分公式，形式上与牛顿—莱布尼兹公式相似。