第三章 复变函数的积分
问题：考虑 C f (z)dz 的计算方法.
复变函数 f (z) 的积分与路径无关 f (z) 沿任意封闭曲线的积分等于 0. 积分与路径无关的条件？？ 被积函数的解析性、区域的连通性
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分析： 设 f (z) u( x, y) iv( x, y)
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
那么 C f (z)dz 0.
(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z) 在 B 内解析, 在边界 C 上连续, 那么定理的 结论仍成立.
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举例:
例1
计算积分
C
2
1 z
3
dz,
其中C是正向圆周 z
1.
解 函数 1 在 z 1内解析, 2z 3
根据柯西积分定理, 有
1
C 2z 3 dz 0
与路径无关
与路径无关
设u, v 在单连通域 B内具有一阶连续偏导数，
C udx vdy 和 C vdx udy 在B内与路径无关
uy vx , vy ux 在 B内恒成立 f (z) 在 B 内解析
设G是一个单连通区域，函数P(x, y),Q(x, y)在G内具有一阶连续偏
导数，则曲线积分L Pdx+Qdy 在G内与路径无关的充分必要条件是
z
2
根据柯西积分定理得
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P Q 在G内恒成立.
y x
3
如果函数 f (z) 在单连通域 B 内处处解析,
那么函数 f (z) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C
的积分为零: C f (z)dz 0.
此定理也称柯西－古萨基本

定理.
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关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z) 在
在以 C 为边界的闭区域 B B C 上解析,
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例2 计算积分
1 dz, 其中C 是正向圆周 z 1 1 .
C z(z 1)
2
解
C
1 dz z(z 1)
=
( 1 1 )dz C z 1 z
1
=
C
z
dz 1
1
C z dz
2i
2 i
0
C
(z
1 z0
)n1
dz
2 i,
0,
n
n
0
0
C : 正向圆周 z z0 r.
因为 1 在 z 1 1 上解析,