A. －1B．2－
C. D.
答案A
解析由题意知∠F1MF2＝ ，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，则c2＋(2a－c)2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝ －1.
11．(2017北京丰台期末)若F(c，0)为椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点，椭圆C与直线 ＋ ＝1交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝c上，则椭圆的离心率为()
8．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()
A. B.
C. D.
答案B
解析由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b.
又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝ 或e＝－1(舍去)．
9．(2017·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线 － ＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于()
A．10B．12
C．16D．20
答案D
解析如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又
e＝ ＝ ，即c＝ a，∴a2－c2＝ a2＝b2＝16.∴a＝5，△ABF2的周长为20.
3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
A. B.
C. D.
答案A
解析因为|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2，0)和(2，0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝ .
5．已知椭圆 ＋ ＝1的离心率e＝ ，则m的值为()
A．3B．3或
C. D. 或
答案B
解析若焦点在x轴上，则有 ∴m＝3.
若焦点在y轴上，则有 ∴m＝ .
6．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
答案B
解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
A．[ ，1)B．[ ， ]
C．[ ，1)D．(ຫໍສະໝຸດ ， ]答案C解析设P(x，y)，则|PF2|＝a－ex，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则|PF2|＝|F1F2|，∴a－ex＝2c，∴x＝ ＝ .∵－a≤x≤a，∴ ≤a，∴ ≥ ，∴ ≤e<1.故椭圆C的离心率的取值范围是[ ，1)．
(2)若椭圆的焦距为2，且 ＝2 ，求椭圆的方程．
C. ＋y2＝1D. ＋ ＝1
答案A
解析圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.
知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.
又e＝ ＝ ，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
4．已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a＝(x＋2，y)和b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是()
答案(x－ )2＋y2＝
解析设圆心为(a，0)(a>0)，则半径为4－a，则(4－a)2＝a2＋22，解得a＝ ，故圆的方程为(x－ )2＋y2＝ .
15．(2016·课标全国Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．
答案
解析设E(0，m)，则直线AE的方程为－ ＋ ＝1，由题意可知M(－c，m－ )，(0， )和B(a，0)三点共线，则 ＝ ，化简得a＝3c，则C的离心率e＝ ＝ .
16.如图，已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
13．(2017·上海市十三校联考)若椭圆的方程为 ＋ ＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________．
答案4或8
解析①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
14．(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆 ＋ ＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
A. B.
C. D.
答案B
解析因为直线 ＋ ＝1在x，y轴上的截距分别为a，b，所以A(a，0)，B(0，b)．又线段AB的中点在直线x＝c上，所以c＝ ，即e＝ ＝ .
12．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是()
7．(2017·河北邯郸一模)已知P是椭圆 ＋ ＝1(0<b<5)上除顶点外一点，F1是椭圆的左焦点，若| ＋ |＝8，则点P到该椭圆左焦点的距离为()
A．6B．4
C．2D.
答案C
解析取PF1的中点M，连接OM， ＋ ＝2 ，∴|OM|＝4.在△F1PF2中，OM是中位线，∴|PF2|＝8.∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，解得|PF1|＝2，故选C.
题组层级快练
1．若椭圆 ＋ ＝1过点(－2， )，则其焦距为()
A．2 B．2
C．4 D．4
答案D
解析∵椭圆过(－2， )，则有 ＋ ＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2 ，2c＝4 .故选D.
2．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，b＝4，离心率为 .过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()
A. B.
C. D.
答案B
解析因为双曲线的焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a＝10⇒a＝5，则c＝ ＝4，e＝ ＝ ，故选B.
10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为()