题组层级快练(八)
1．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，则( )
A ．f (2)>f (3)
B ．f (3)>f (2)
C ．f (3)＝f (2)
D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定
答案 C
解析 ∵f (4)＝f (1)，∴对称轴为52
，∴f (2)＝f (3)． 2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝－x 2－x －1
B ．f (x )＝－x 2＋x －1
C ．f (x )＝x 2－x －1
D ．f (x )＝x 2－x ＋1 答案 D
解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，a x ＋2＋b x ＋＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x .
故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，
c ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，c ＝1， 则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.
3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像，则|OA |·|OB |等于( )
A.c a
B ．－c a
C ．±c a
D ．无法确定 答案 B
解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a
(∵a <0，c >0)．
4．(2015·上海静安期末)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,2]
C ．[－1,2]
D ．[2,5) 答案 C
解析 二次函数f (x )＝－x 2
＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1,2]．
5．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )
答案 C
6．(2015·山东济宁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c x ，2 x ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．3
答案 D
解析 由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4. f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2 x ，2 x 又f (x )＝x ， 则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.
当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．
7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(0,2)
C ．(－2,0)
D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.
8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )
A ．－1<b <0
B ．b >0
C ．b <－1或b >2
D ．不能确定 答案 C
解析 由f (1－x )＝f (1＋x )，得对称轴方程为x ＝1＝a 2
. ∴a ＝2，f (x )在[－1,1]上是增函数．
∴要使x ∈[－1,1]，f (x )>0恒成立．
只要f (x )min ＝f (－1)＝b 2－b －2>0，∴b >2或b <－1.
9．(2015·上海虹口二模)函数f (x )＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于________． 答案 4
解析 因为对称轴为x ＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.
10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－4,0]
11．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________. 答案 6
12．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a ]，并且函数f (x )的最大值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．
答案 a ≥5
解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝3，要使f (x )在[1，a ]上f (x )max ＝f (a )，由图像对称性知a ≥5.
13．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时，y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则实数a 的范围是________．
答案 0≤a ≤1
解析 由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧ －a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1. 14．若函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上的最小值是2，最大值是3，则实数m 的取值范围是
________．
答案 [1,2]
解析 ∵f (x )＝(x －1)2
＋2≥2，
∴x ＝1∈[0，m ]．∴m ≥1.①
∵f (0)＝3，而3是最大值．
∴f (m )≤3⇒m 2－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.②
由①②知：1≤m ≤2，故应填[1,2]．
15．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．
答案 大 －3 解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2
＝a ·c ，∴a <0.∴f (x )有最大值，最大值为c －b 2
4a ＝－3.。