C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.
4．(2016·课标全国Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()
答案
解析向量a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝ ，又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e12＋6e1·e2＝2＋6× ＝5，|b|＝|2e1|＝2，∴|a|·cos〈a，b〉＝ .
15．(2017·衡水调研)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．
答案A
解析由于 ⊥ ，故其数量积是0，可排除C； 与 的夹角为 π，故其数量积小于0，可排除D；设正六边形的边长是a，则 · ＝| || |cos30°＝ a2， · ＝| || |cos60°＝a2.故选A.
10．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()
A．150°B．120°
答案120°
解析∵(2a＋b)·b＝0，∴2|a||b|cosθ＋b2＝0.由|a|＝|b|，可得cosθ＝－ .故填120°.
16．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 · 的值为________； · 的最大值为________．
答案1，1
解析以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
8．(2017·人大附中模拟)已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为 ，若向量p＝ ＋ ，则|p|＝()
A．2＋ B.
C．3D.
答案D
解析∵|p|2＝1＋1＋2cos ，∴|p|＝ .
9．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是()
A. · B. ·
C. · D. ·
答案(－7，－ )∪(－ ，－ )
解析由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得 <0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－ .
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
7．已知|a|＝1，|b|＝ ，a＋b＝( ，1)，则a＋b与a－b的夹角为()
A. B.
C. D.
答案C
解析由a＋b＝( ，1)得|a＋b|2＝(a＋b)2＝4，又|a|＝1，|b|＝ ，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋2a·b＋3＝4，解得2a·b＝0，所以|a－b|＝ ＝ ＝2，设a＋b与a－b的夹角为θ，则由夹角公式可得cosθ＝ ＝ ＝－ ，且θ∈[0，π]，所以θ＝ π，即a＋b与a－b的夹角为 π.
A．2B．3
C．4D．5
答案D
解析∵a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，∴b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)．
∴a·b＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.
3．(2015·北京，文)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
题组层级快练
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－4B．4
C．－2D．2
答案A
解析∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝18cos〈a，b〉＝－12，∴cos〈a，b〉＝－ .∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4.
2．已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b＝()
答案
解析a·b＝2 ，∴cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ ，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝ .
13．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－ ，则|a＋2b|＝________．
答案
解析|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝3，则|a＋2b|＝ ，故填 .
14．(2013·江西，理)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为 ，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．
则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，
所以 · ＝(1，a)·(1，0)＝1， · ＝(1，a)·(0，1)＝a≤1.故 · 的最大值为1.
17．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为 ，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
A．有最大值为8B．是定值6
C．有最小值为2D．与点的位置有关
答案B
解析因为点P在边BC上，所以存在实数λ，使 ＝λ ＋(1－λ) ，所以 ·( ＋ )＝[λ ＋(1－λ) ]·( ＋ )＝4＋ · ＝6.故选B.
12．(2016·北京，文)已知向量a＝(1， )，b＝( ，1)，则a与b夹角的大小为________．
A．－8B．－6
C．6D．8
答案D
解析由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.
5．设a，b，c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为()
A．2B.
C．3D.
答案B
解析由|a|＝|b|＝|c|＝1，b＝c－a，两边平方得b2＝(c－a)2，∴1＝1＋1－2a·c，∴a·c＝ .
6．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝ ，且|2a＋b|＝ ，则向量a与向量a＋b的夹角为()
A. B.
C. D．π
答案B
解析由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝ ＝2，故cos〈a，a＋b〉＝ ＝ ，所以〈a，a＋b〉＝ ，故选B.
C．60°D．30°
答案B
解析设|a|＝m(m>0)，则由a＋b＝c得(a＋b)2＝c2，2m2＋2m2cos〈a，b〉＝m2，cos〈a，b〉＝－ .又0°≤〈a，b〉≤180°，因此〈a，b〉＝120°，选B.
11．(2017·沧州七校联考)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则 ·( ＋ )()