A．x＝1B．x＝2
C．x＝－1D．x＝－2
答案C
解析由题意可设直线方程为y＝－(x－ )，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程 消元得4x2－12px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p.∴p＝2，即抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
9．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若 · ＝0，则k＝()
3．已知直线ax＋y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为
()
A．6B．7
C．8D．9
答案C
解析抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，点F在直线ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝－1，∴直线方程为x－y－1＝0.联立 得x2－6x＋1＝0.设直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
题组层级快练
1．(2017·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()
A．2B.
C. D.
答案C
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AB|＝4，∴x1＋ ＋x2＋ ＝4，∴x1＋x2＝3.
∴C点横坐标为 ，故选C.
2．(2014·新课标全国Ⅱ，文)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()
A．有且仅有一条B．有且仅有两条
C．有无穷条D．不存在
答案B
解析方法一：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k(x－1)，代入抛物线y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
4．已知抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为A，焦点为F，l是过点A且倾斜角为 的直线，则点F到直线l的距离等于()
A．1B.
C．2D．2
答案B
解析A(－1，0)，F(1，0)，直线的方程为y＝ (x＋1)，点F到直线y＝ (x＋1)的距离d＝ ＝ .
5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()
()
A．1B．2
C．3D．4
答案D
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
8．(2017·郑州第一次质量预测)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()
将x＝ty＋m代入y2＝4x，得y2－4ty－4m＝0，
A. B．6
C．12D．7
答案C
解析先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定义求解弦长．
∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F( ，0)．
∴AB的方程为y－0＝tan30°(x－ )，即y＝ x－ .
联立 得 x2－ x＋ ＝0.
∴x1＋x2＝－ ＝ ，即xA＋xB＝ .
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝ ＋ ＝12.
11.(2017·河南豫东、豫北十所名校)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝ |BF|，且|AF|＝4＋2 ，则p的值为()
A．1B．2
C. D．3
答案B
解析过B作准线的垂线BB′，则|BB′|＝|BF|，由|BC|＝ |BF|，得直线l的倾斜角为45°.设A(x0，y0)，由|AF|＝4＋2 ，得x0－ ＝ |AF|＝2＋2 .∴(2＋2 )＋p＝4＋2 ，∴p＝2.
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④
由①②③④式，解得k＝2.故选D.
10．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，若x1x2＝－ ，则2m的值是()
A．3B．4
C．5D．6
答案A
解析由已知得kAB＝－1，且AB的中点C(x0，y0)在直线y＝x＋m上，设直线AB的方程为y＝－x＋n，联立 消去y并整理得2x2＋x－n＝0，
依题意得， ∴n＝1.又x1＋x2＝－ ，∴x0＝－ ，y0＝－x0＋1＝ .
∵点C(x0，y0)在直线y＝x＋m上，∴ ＝－ ＋m，解得m＝ ，∴2m＝3，故选A.
A. B.
C. D．2
答案D
解析由题意知抛物线C的焦点坐标为(2，0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝ ，x1x，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.
∵A，B两点的横坐标之和等于5，∴ ＝5，k2＝ ，k＝± .
即这样的直线有且仅有两条．
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7>2p＝4.即|AB|>通径．
∴这样的直线有两条，选B.
6．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x＋2)与抛物线交于A，B两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为()
12．(2017·四川成都一中模拟)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB(其中O为坐标原点)，则△AOB与△AOF面积之和的最小值是()
A．16B．8
C．8 D．18
答案C
解析设直线AB的方程为x＝ty＋m，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，
A．0B．2
C．－4D．4
答案A
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则联立 得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4.由kFA＋kFB＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ，将x1x2＝4代入，得kFA＋kFB＝0.
7．(2017·铜川一模)已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为 ，则|AB|的最大值为