精品文档2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0x ≠，则=)3(ln f 3 .2.设x e xsin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin x e x - ．3.曲线16623-+=x x y 的拐点坐标是 ()2,0- . 4.若02121A dx x -∞=+⎰，则A = 1π ．5．21lim(2)cos2x x x →-=- 0 .二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）. 将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数()f x 的定义域为[]12,-，则函数()()()22F x f x f x =++的定义域为（ ）. A ．[]30,-； B ．[]31,-； C ．112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； D ．102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.2．3x =是函数1()arctan3f x x=-的（ ）. A ．连续点； B ．可去间断点； C ．跳跃间断点； D ．第二类间断点. 3．当0→x 时，1ax e -与x 2sin 等价，则a =（ ）.A ．1 ；B ．2 ；C ．2- ；D ．21. 4．函数()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0=x 处（ ）. A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导； D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．()()b a d f x dx f x dx =⎰； B . ()()()xa d f x dx f x f a dx =-⎰； C ．()()df x dx f x dx =⎰； D . ()()f x dx f x '=⎰.6．函数()21xf x x =+（ ）.A ．在(),-∞+∞内单调增加；B ．在(),-∞+∞内单调减少；C ．在()11,-内单调增加；D ．在()11,-内单调减少.7．若()f u 可导，且()x y f e =，则（ ）.A ．()x dy f e dx '=；B ．()x x dy f e e dx '=；C ．()xxdy f e e dx =； D ．()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦.8．20|1|x dx -=⎰（ ）.A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．1-.9．方程sin y x '''=的通解是( ). A .21231cos 2y x C x C x C =+++； B .21231sin 2y x C x C x C =+++； C .1cos y x C =+； D .2sin 2y x =.10.曲线xe y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ ）． A ．10()x e ex dx -⎰ ； B ．1(ln ln )ey y y dy -⎰； C ．1()exxe xe dx -⎰； D ．10(ln ln )y y y dy -⎰．精品文档三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算)lim x xx →+∞.解：)lim x xx →+∞lim x= 3分12=. 6分 2．计算xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→．解：xx x x 1022lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭3分()02lim2x xx x e→-=1e e == . 6分四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知076333=--++y xy x y ，求2=x dxdy．解：两边分别对x 求导，得22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-=， 3分 当2x =时，1y =-，代入上式，得23x dydx==-. 6分2. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 所确定，求dx dy和22dx y d .解：dxdy dydtdx dt=sin sin cos cos sin t t t ttt-++=sin t t = 3分 22dx y d dy dt dx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt += . 6分五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算⎰++dx x x x 221)(arctan ． 解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ ()()()22211arctan arctan 21d xx d x x+=++⎰⎰3分 ()()3211ln 1arctan 23x x C =+++ . 6分2．计算204ln(1)limx x t dt x→-⎰.解：204ln(1)limx x t dt x →-⎰()232ln 1lim4x x x x →-= 3分220lim 2x x x →-=12=-. 6分3. 计算22cos x e xdx π⎰.解：220cos xe xdx π⎰()220sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2分 ()222cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xxe e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰22024cos x e e xdx ππ=--⎰ 5分∴220cos xe xdx π⎰()125e π=- . 6分精品文档六、（本题10分）.设曲线)(x f y =上任意一点),(y x 处的切线斜率为2x x y +,且该曲线经过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，（1）求函数)(x f y =；（2）求曲线)(x f y =，0y =,1x =所围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积．解：(1)2y y x x '=+，即2y y x x '-=，且当1x =时，12y =， 2分与之对应的齐次线性微分方程的通解为y Cx =，令()y u x x =，将其代入非齐次线性方程得u x '=，所以212u x C =+， 所以非齐次线性微分方程的通解为312y Cx x =+，代入初始条件得0C =， 故所求函数为312y x =. 6分(2)23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π= . 10分七、(本题10分).由半径为R 的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中心角，使圆锥S 的容积为最大.解：设留下的扇形的中心角为ϕ，圆锥的高为h ，底面半径为r ，则其容积V 为213V r h π=，又2r R πϕ=，h =故V =()02ϕπ<< 4分323224R V π'= 6分 令 0V '=得ϕ=，当0ϕ<<时，0V '>2ϕπ<<时，0V '<，因此ϕ=为极大值点，又驻点唯一，从而ϕ也是最大值点. 8分即当割去扇形的中心角为2π时，圆锥的容积最大，3R . 10分八、(本题8分).证明：方程4013101xx dt t --=+⎰在区间)1,0(内有唯一实根. 证明：令()401311x f x x dt t =--+⎰，则()010f =-<，()1401121f dt t =-+⎰0>， 由零点定理知，至少存在一点()0,1ξ∈，使()0f ξ=. 4分由()41301f x x'=->+，()0,1x ∈， 知()f x 在)1,0(内单调增加， 所以方程4013101xx dt t --=+⎰在区间)1,0(内有唯一实根. 8分。