注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟
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一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.
1.设()lim 1t
t x f x t →+∞⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
()0x ≠，则=)3(ln f 3 .
2.设x e x
sin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin x e x - ．
3.曲线1662
3
-+=x x y 的拐点坐标是 ()2,0- .
4.若0
21
2
1A dx x -∞=+⎰
，则A = 1 ．
5．21
lim(2)cos 2
x x x →-=- 0 .
分）. 1．已知函数()f x 的定义域为[]12,-，则函数()()()22F x f x f x =++的定义域为（ ）. A ．[]30,-； B ．[]31,-； C ．112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； D ．102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
2．3x =是函数1
()arctan
3f x x
=-的（ ）. A ．连续点； B ．可去间断点； C ．跳跃间断点； D ．第二类间断点.
3．当0→x 时，1ax e -与x 2sin 等价，则a =（ ）.
A ．1 ；
B ．2 ；
C ．2- ；
D ．
2
1. 4．函数()2
1sin
,00
,0x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0=x 处（ ）. A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导； D ．不连续且不可导.
5.下列等式中正确的是（ ）．
A ．()()b a
d
f x dx f x dx
=⎰
； B.
()()()x a
d f x dx f x f a dx
=-⎰
；
C ．()()d
f x dx f x dx
=⎰； D. ()()f x dx f x '=⎰.
6．函数()2
1x
f x x =
+（ ）. A ．在(),-∞+∞内单调增加； B ．在(),-∞+∞内单调减少； C ．在()11,-内单调增加； D ．在()11,-内单调减少.
7．若()f u 可导，且()
x y f e =，则（ ）. A ．()x dy f e dx '=； B ．()
x x dy f e e dx '=；
C ．()
x
x
dy f e e dx =； D ．()
x x dy f e e dx '
⎡⎤=⎣⎦
.
8．
20
|1|x dx -=⎰
（ ）.
A ．0 ；
B ．2 ；
C ．1 ；
D ．1-.
9．方程sin y x '''=的通解是( ).
A.
2123
1
cos 2
y x C x C x C =+++；
B.2
1231sin 2
y x C x C x C =+++；
C.1cos y x C =+；
D.2sin 2y x =.
10.曲线x
e y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ ）． A ．
10
()x
e ex dx -⎰
； B ．
1
(ln ln )e
y y y dy -⎰
；
C ．
1
()e
x x e xe dx -⎰
； D ．
10
(ln ln )y y y dy -⎰
．
三、解下列各题（每小题6分，共12分）.
1
．计算)
lim x x
x →+∞
.
解：)
lim x x
x →+∞
lim
x = 3分
1
2
=
. 6分 2．计算x
x x x 1022lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+→．
解：x
x x x 1
022lim ⎪⎭⎫
⎝⎛-+→()
222202lim 12x x
x x x x x x -⋅
-→⎛
⎫=+ ⎪-⎝⎭
3分
()02lim
2x x x x e →-=1e e == . 6分
四、解下列各题（每小题6分，共12分).
1.已知076333=--++y xy x y ，求
2
=x dx
dy
．
解：两边分别对x 求导，得
2
2333360dy dy dy
y
x y x dx dx dx
+++-=， 3分 当2x =时，1y =-，代入上式，得
2
3x dy dx
==-. 6分
2. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 所确定，求dx dy
和22dx y d .
解：dx dy dy
dt dx dt
=sin sin cos cos sin t t t t
t t
-++=sin t t = 3分 2
2
dx
y d dy dt dx dt
'
=sin cos cos sin t t t t t
+=2sin sin cos cos t t t t
t
+= . 6分
解：⎰+
dx x
212211dx dx x x =+++⎰⎰ ()
()()2
2
2
11arctan arctan 21d x
x d x x +=
++⎰
⎰ 3分
()
()3
211ln 1arctan 23
x x C =+++ . 6分
2．计算20
4
ln(1)lim
x x t dt x
→-⎰.
解：20
4
ln(1)lim
x x t dt x →-⎰()23
2ln 1lim
4x x x x →-= 3分
220lim 2x x x →-=1
2
=-
. 6分
3. 计算
220
cos x e xdx π
⎰
.
解：
220
cos x e xdx π
⎰
()220
sin x e d x π
=⎰222200sin 2sin x x e x e xdx π
π
⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2分
()220
2cos x e e d x π
π=+⎰2222002cos 4cos x
x e e x e xdx π
ππ
⎡⎤=+-⎣⎦⎰ 220
24cos x e e xdx π
π
=--⎰ 5分
∴
220
cos x
e xdx π
⎰
()125
e π
=
- . 6分
2 ⎪⎝⎭
（1）求函数)(x f y =；
（2）求曲线)(x f y =，0y =,1x =所围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积． 解：(1)2y y x x '=
+，即2y y x x '-=，且当1x =时，1
2
y =， 2分 与之对应的齐次线性微分方程的通解为y Cx =，
令()y u x x =，将其代入非齐次线性方程得u x '=，所以2
12
u x C =
+， 所以非齐次线性微分方程的通解为3
12
y Cx x =+，代入初始条件得0C =， 故所求函数为3
12
y x =
. 6分 (2)2
3102x V dx π⎛
⎫= ⎪⎝⎭
⎰
28π
= . 10分
七、(本题10分).
由半径为R 的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中心角，使圆锥S 的容积为最大.
解：设留下的扇形的中心角为ϕ，圆锥的高为h ，底面半径为r ，则其容积V 为
21
3
V r h π=，又2r R πϕ=，h =
故V =()02ϕπ<< 4分
323
224R V π'= 6分 令 0V '=
得ϕ=
，
当0ϕ<<
时，0V '>
2ϕπ<<时，0V '<，
因此ϕ=
为极大值点，又驻点唯一，从而ϕ也是最大值点. 8分
即当割去扇形的中心角为2π-
时，圆锥的容积最大，
3R . 10分
八、(本题8分).
证明：方程4
01
3101x
x dt t --
=+⎰
在区间)1,0(内有唯一实根. 证明：令()4
01
311x
f x x dt t =--+⎰
， 则()010f =-<， ()1
4
01
121f dt t =-
+⎰
0>， 由零点定理知，至少存在一点()0,1ξ∈，使()0f ξ=. 4分 由()4
1
301f x x '=-
>+，()0,1x ∈， 知()f x 在)1,0(内单调增加， 所以方程4
01
3101x
x dt t --
=+⎰
在区间)1,0(内有唯一实根. 8分。