1．1.2 弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？[答案]周角的1360等于1度．思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？[答案]把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[答案]“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？[答案]利用1°＝π180rad和1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°进行弧度与角度的换算．梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？[答案]设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：1．1 rad的角和1°的角大小相等．(×)提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝π180rad.2．用弧度来表示的角都是正角．( × )提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ )提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[考点] 弧度制[题点] 角度与弧度的互化 解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可． 跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：①－150°＝________；②2 100°＝________； ③11°15′＝________；④112°30′＝________. (2)把下列弧度化成角度：①π6＝________；②－5π3＝________； ③9π20＝________；④－5π12＝________. [考点] 弧度制[题点] 角度与弧度的互化[答案] (1)①－5π6 ②353π ③π16 ④5π8(2)①30° ②－300° ③81° ④－75° 类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.[考点] 弧度制的应用 [题点] 弧度制的应用解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．[考点] 弧度制的应用 [题点] 弧度制的应用解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×⎝⎛⎭⎫180π°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1[考点] 扇形的弧长与面积公式[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)扇形的中心角为120°＝2π3，半径为3，所以S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π3×(3)2＝π.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为2sin 1.这个圆心角所对的弧长为2×2sin 1＝4sin 1.反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． [考点] 扇形的弧长与面积公式[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1．下列说法正确的是( )A ．1弧度就是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 [考点] 弧度制 [题点] 弧度制的定义 [答案] D[解析] 由弧度的定义可知D 正确． 2．把8π5化为角度是( )A ．270°B ．280°C ．288°D ．318° [考点] 弧度制[题点] 角度与弧度的互化 [答案] C[解析]8π5＝8π5×⎝⎛⎭⎫180π°＝288°. 3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限[考点] 弧度制的应用 [题点] 弧度制的应用 [答案] D[解析] 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．4．已知半径为1的扇形面积为3π8，则扇形的圆心角为( )A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2 [考点] 扇形的弧长与面积公式 [题点] 扇形的面积公式 [答案] C[解析] 由S ＝12|α|r 2得3π8＝12×α×12，所以α＝3π4.5．已知扇形AOB 的圆心角α为2π3，半径长R 为6，求：(1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． [考点] 扇形的弧长与面积公式[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用 解 (1)l ＝α·R ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S△OAB＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9 3.所以弓形的面积是12π－9 3.1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．。