当
时,
当
时,
lim
n
xn

a
令N max N1 , N2,
则n当 N
时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即xn a ,
l故im
n
xn

a
.
2
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 由.
n

n2
1


n2
1
2

n2
1
n


n2
n2
且
lim
n
n
n2 2


lim
n
1
1


n2
1

lim n
n

n2
1


n2
1
2

n2
1
n

1
3
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则

当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 ) 5
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
xn (1 1n)n

1

n 1!
1 n

n(n1) 2!
1 n2

n(n1)(n2) 3!
1 n3


n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
x x0
2
x 2

1 2
lxim0sin2x
x 2
2
15
例6. 已知圆内接正 n 边形面积为

n
An

n
R2
sin

n
cos

n
R
证明:
证:
lim
n
An

lim
n

R
2
sin


n
cos

n
n
说明: 计算中注意利用
16
重要极限2. lim(1 1 )x e
x
x

xn

a xn

a
xn1 xn

1 (1 2
a xn 2
)

1 (1 2
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在， 设
lim
n
xn

A
则由递推公式有 A 1 ( A a )
A a
2A
x1 0,
xn 0,
故
lim
n
xn

a
9
二、 两个重要极限
重要极限lim1 sin x 1 x0 x
证: 当x 0
时,n设 x n 1, 则
(1
n11)n

(1
1 x
)
x
(1
1n)n1
lim (1
n
n11)n

lim
n
(1 n11)n1
1

1 n1
e
lim (1
n

1 n
)n1

lim [(1
n

1n)n（1

1n）]

e
lim (1

k

lim
x0
sin k
k x
x

k
2li.m tan x x0 x

lim x0
sin x
x
1 cos
x

lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
12
3.
解:t 令 arcsin x , 原式 lim t t0 sin t
4.
x则 sin t , 因此
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1 n
)
n

e
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
8
例3
设
xn1

1 2
( xn

a xn
)
( n 1, 2, )
,且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解： xn1

1 2
(xn

a) xn
大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21)(1 nn1) 正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
又
xn

(1
1 n
)n
11
7
又 xn (1 1n)n 11 11

3

1 2n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
证:
当x (0,

2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
ox C A
＜△AOD的面积
即12 sin x

1 2
tan
x
sin x x tan x
(0

x


2
)
故有 显然有
cos x sin x 1 x
(0
x


2
)
10
例4. 求下列函数的极限
1. lim sin kx lim k sin k x x0 x x0 k x
此极限也可写为lim (1
1
Байду номын сангаасz)z

e
z0 18
例7 已知
解: 原式 =
c ln 4
求 C。
ec 4
19
例8 求下列极限
t 解x:, 令 则
lim (1
t

1t )
t

lim
t
1
解
原式＝
说明
：若利用lim (1
(x)


1 (x)
)
(
x)
x
1 x
)
x

e
17
当
时, 令x (t 1), 则
从而有

t
lim (1


t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)

t
lim (1


1t )t
1

t
lim [(1


1t )t
(1

1t )]

e
故
lim (1
x
1 x
)
x

e
说明:
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
4
3. 准则2 单调有界数列必有极限 （单调有界原理 )
lim
n
xn
a
(M
)
21!(1

1 n
)

31!(1

1n)(1

n2)



n1! (1
1 n
)
(1

n2)(1

nn1)
6
xn
11
21!(1 1n)

31!(1

1n)
(1

2 n
)

n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
xn1 11 21!(1 n11) 31!(1 n11)(1 n21)
sin t 1
t
解:t 令 arctan x, x则 tan t , 因此
原式 lim t t0 tan t
1
tan t
t
13
高等数学
第七讲
主讲教师: 王升瑞
14
例5. 计算下列函数的极限
1.lim x sin 1
1
x
x
2.
3.
1 12 2
3 2
2 sin 2
lim
第一章
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则 二、 两个重要极限
1
一、极限存在准则
1.准则1（数列极限存在的夹逼准则 )
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn

lim
n
zn

a
证: 由条件 (2) , 0 , N1, N2 ,