Afr .-f-e
第一早第八节
极限存在准则两个重要极限
【教学目的】
1、 了解函数和数列的极限存在准则；
2、 掌握两个常用的不等式；
3、 会用两个重要极限求极限。

【教学内容】
1、 夹逼准则；
2、 单调有界准则；
3、 两个重要极限。

【重点难点】
重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。

【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。

首先给出极限存在准
则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（
5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类
型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。

【授课内容】
引入：考虑下面几个数列的极限
1000
3、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则:
一、极限存在准则
1. 夹逼准则
准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件
(1) y n X n Z n (n 1,2,3 )
(2) lim y n
a, lim z n a,
n
n
那么数列X n 的极限存在，且lim X n
a .
n
证： y a, z a,
0, N 1 0, N 2 0,使得
1、 lim
n
n 2
1000个0相加，极限等于 0。

2、 lim
n
——2一无穷多个
.n i
0”相加，极限不能确定。

当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n
取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2
【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用
2. 单调有界准则
准则n 单调有界数列必有极限
几何解释：
X 2 X 3 X n X
n 1
A
1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。

首先证明是有界的，然后证明是单
n
调的，从而得出结论
证：1、证明极限存在
例2证明数列
X n
.3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在
当n > N 时，恒有 a
y n x n z n a ,即 X n a
成立, lim x n a.
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
o
准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有
(1) g(x) f(x) h(x),
⑵』m g(x) A ，』m h(x) A,
x x
x x
(x ) (x )
那么lim f (x)存在，且等于A .
x x 0 (x )
准则 和准则'称为夹逼准则。

【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出
y n 与z n ，并且y n 与z n 的极限是容易求的。

解:
又lim
n
1
1 求 lim(
+
=+ L n
“n 2+ 1
、n 2 + 2
+
J 2
：
).
.n + n
1 + . < ..n
2 + n
lim
n
1,
lim 一n -
n
lim
n
1, 1
2
y n a 由夹逼定理得:
-)1- n
如果数列x n 满足条件X 1 加的；如果数列 x n
满足条件X 1 x 2 x 3 少的。

单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

X 2 X 3 X n X n
X n 1 X n 1
，就称数列 x n 是单调增 ,就称数列x n 是单调减
【分析】已知X n
2
2
(|)2
2
(1
a ）证明有上界
N 3 3，设 x n
3 x
n 1
3
， 则 X n 1 ,3 X n 3一3 3
所以对任意的n 有 X n
3
b ）证明单调上升
X n 1 X n ... 3 X n X n
X n X n
X n x n
x n
所以lim X n 存在
n
2、求极限 设 lim x n
l n
，则I .FT ，解得I
卫舍去）
所以 lim x n n
两个重要极限
1. sin x ’ lim
1 x 0 x
如右图所示，设单位圆O,圆心角 AOB X,
(0 X 2)
作单位圆的切线， 得ACO.扇形OAB 的圆心角为x, OAB 的高为BD, 于是有sinx BD, x 弧AB,
tanx AC,
sin x x tan x, 即 COSX 沁1,上式对于
- x 2 2时,° cosx 1 1 cosx 2 sin 2 △
2(52
X 0也成立. 2
lim — x 0 2 0, lim (1 cosx) x 0
0, lim cosx x 0
1,又
lim1 x 0
1,
lim
sin X
x 0
(1) 求下列极限
1- cosx lim 2— x ?0 x 2 解：原极限=lim 0 X? 2
X 2sin
— 2
2
X
2x
m
1.
sin 2^ x
sin
2凹（二
2. lim (1 丄广
x
x
，lim 0(1
x 0
1
x)x e ， lim n
“1 ”型
X
【说明】
1
(1)
上述三种形式也可统一为模型
lim 1 x 一冈 e
(x) 0
(2) 第二个重要极限解决的对象是
1型未定式。

2
例如，lim 2 x 门 lim 1
X 1
X 1
(2) lim
X
而广 n(n 1) 2
1
n(n 1)/2 1 而 lim 2
， lim 厂 n
n
n n 2 n n n 1
2
1 所以原极限 一 2
【内容小结】
lim f (x) A = lim h(x)，则 lim g(x) A 。

X X o
XX)
x X o
2、单调有界准则
(1) 单调上升有上界的数列，极限一定存在;
解：
n 2n
n 1) 2
1 2 n
2 n n
n n 2 n n n 2 n n n 1
2
L
n
2 n n 1 2 n n 2
2 n n n
1
2
L
n n(n 1) 2 2 n n
1 2 n n 1 2 n n 1 2 n n 1
O
i 1
【课堂练习】求lim
n
n (1) 求下列极限
x
lim(1 -
X
解：原极限二 lim[(1
X
X ) x
]
lim
X
(1
解：原极限=lim[(1
X
")
1、夹逼准则
o
当 X U(X 0,)时
有 f (X) g(x) h(x)
(2) 单调下降有下界的数列，极限一定存在。

3、两个重要极限
(X 为弧度)；
1
1 x 一
(2) lim (1
)x e , lim (1 x)x e x
x x 0
mo
z
\1。