lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
二、 两个重要极限证:Leabharlann 当x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x O
C
A
＜△AOD的面积
即 亦故即有 显然有
1 2
sin
x
1 2
tan
x
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
有
lim
n
f
(xn
)
A.
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
n
f
(xn
)
不存在
.
法2 找两个趋于
的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
1 2n π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ;
(4) ;
2
(2)，(3)，
4
(4) , (5)
第七节
感谢下 载
使
lim
n
f
(xn
) 不存在
.
法2 找两个趋于
x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ; x x
对上述 , N , 当
时, 有
于是当 故
“
n N 时 f (xn ) A .
lim
n
f
(xn )
A
” 可用反证法证明. (略)
y
A
O x0 x
定理1. lim f (x) A
x x0 (x )
且
(xn )
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
xn x0 , f (xn ) 有定义
第一章
极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则
二、 两个重要极限
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系
定理1.
lim f (x) A
xx0
x
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义,
xn x0 (n ), 有 lim f (xn ) A
解: 原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x
2
2
1 12 2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2
sin
π n
cos
π n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim π
n
R2
sin
π n
π
cos
π n
n
说明: 计算中注意利用
2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n11)n (1 1x)x (1 1n)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
(P53~54)
lim (1
n
1 n
)n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
t
lim (1
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
(0
x
π 2
)
注
注
例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
例4. 求
t
lim (1
1t )t
1
lim [(1
t
1t )t
(1 1t )]
e
故
lim (1
x
1 x
)
x
e
说明: 此极限也可写为
1
lim(1 z) z e
z0
例6. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明 ：若利用
lim (1
( x)
(1x))
(
x)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
例7. 求
解:
原式 =
lim [(sin
x
1 x
cos
1x ) 2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在
法1 找一个数列
xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
lim sin
n
1 xn
lim sin(2n π
n
π2 )
1
由定理 1 知
不存在 .
2. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x U (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
xn
n
为确定起见 , 仅讨论
x x0 的情形.
定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
有
lim
n
f (xn )
A.
证： “ ” 设 lim f (x) A, 即 0, 0, 当
xx0
有 f (x) A .
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义 , 且