唐山一中2014—2015学年度第一学期高二年级第二次月考数学试题 （理科） 陈玉珍 审核人：姚洪琪试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。

请把答案填涂在答题卡上）1.下列命题是真命题的是 （ ）A ．22bc ac b a ＞是＞的充要条件B ．11,1＞是＞＞ab b a 的充分条件 C ．0,00≤∈∃x eR x D ．若q p ∨为真命题，则q p ∧为真2.若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝ ( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π43.两直线y ＝x ＋2a,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．－15 ＜a ＜1 B ．a ＞1或＜－15 C ．－15≤a ＜1 D ．a ≥1或a ≤－154. 已知:1:1.:||12p q x a x ≥-<-若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(2,3)D ．(,3]-∞5. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46.已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ） A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l7．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM的长为( )A ．12B ．22C ．33D ．668.如图在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 ( )A ．23 B ．21C ．33 D ．63 9.直三棱柱111A B C A B C-中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 ( )A ．110B ．25CD10.若双曲线12222=-by a x 的离心率为,则其渐近线方程为 ( )A ．B．y = C ．D ．11.已知双曲线)0,(12222>=-b a bya x 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p = ( )A ．1B ． 23C ．2D ． 312.已知双曲线的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯SBACO形，那么原平面图形的面积是__________.14. 设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角βα--l 的平面角为2π，则球O 的表面积为 . 15.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上的任意一点，若以12,,F F P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .16.已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角, 则a的取值范围为 .三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分。

请把解答过程写在答题纸上） 17.已知:p 关于x 的不等式23x m -<)0(>m ，:(3)0q x x -<，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18. 已知过球面上三点A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6，AB=4.计算球的表面积与体积.19．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． (1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正AM 的长．20. 已知点P 是椭圆221167x y +=上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP OMλ=.求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

21. .已知抛物线24(0)y x x =>，是否存在正数m ，对于过点(,0)m 且与抛物线有两个交点,A B 的任一直线都有0FA FB ⋅<?若存在求出m 的取值范围，若不存在请说明理由。

22.设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2 ，两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

答案一选择题： BAAAB DDDDB CA 二填空：22+ 16π三解答题 17. (0,3) 18.54π19.解：(方法一)(1)证明：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE ＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)1BC ＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则10,0,B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩ 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故11B C ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，11B C〉＝11117||||14B C B C ⋅==-⋅m m ， 从而sin 〈m ，11B C . 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)AE ＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM ＝(λ，λ＋1，λ)． 可取AB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM ，AB 〉|＝AM AB AM AB⋅⋅＝=.6=，解得13λ=，所以AM (方法二)(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E B 1C 1EC 1 从而B 1E 2＝22111B C EC +，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角． 在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E CC 1＝2，可得C1G ＝3. 在Rt △B 1C1G 中，B 1G ，所以sin ∠B 1GC 1， 即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A1所成的角．设AM＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH x ，AH x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1EH13x =. 在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1， 由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得2217111893x x x =++， 整理得5x 2－－6＝0，解得x所以线段AM20.设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。

由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+。

整理得2222(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。

（i ）34λ=时。

化简得29112y = 所以点M的轨迹方程为44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。

（ii ）34λ≠时，方程变形为2222111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-当304λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。

当314λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；21．（II ）设过点M （)0,m （)0>m 的直线l 与曲线C 的交点为A ),(11y x ，),(22y x B 设l 的方程为m ty x +=，由⎩⎨⎧=+=xy m ty x 42得0442=--m ty y ，0)(162>+=∆m t ，于是⎩⎨⎧-=∙=+m y y ty y 442121① 又),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=，01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<∙y y x x x x y y x x ②又42y x =于是不等式②等价于01]2)[(4116)(01)44(4421221212212221212221<+-+-+⇔<++-+∙y y y y y y y y y y y y y y ③ 把①式代入不等式③有22416t m m <+-④对任意实数t ，42t 的最小值是0，所以不等式④对于一切t 成立等价于0162<+-m m ， 即223-223+ m由此可知，存在正数m ，对于过点M （m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0<∙FB FA ,且m 的取值范围是（)223,223+-22. 解:假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足3m ≥或3m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为(,)33±或(33-±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.。