2014-2015学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．（5分）若0＜α＜，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（）A．α$B．+αC．π﹣αD．﹣α2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+（1﹣a）y=3”与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=1，则a2+b2+c2≤”的否命题是（）A．若a2+b2+c2≥1，则a+b+c= B．若a+b+c=1，则a2+b2+c2＜C．若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＜D．若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＞4．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=05．（5分）点P是直线3x+y+10=0上的动点，PA，PB与圆x2+y2=4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．B．2 C．2 D．46．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则|BF|的值为（）A．3 B．4 C．5 D．107．（5分）若直线y=2x+b与曲线y=2﹣有公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2﹣2]B．[﹣2﹣2，2﹣2]C．[﹣2﹣2，2]D．[2，2﹣2]8．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，1+） D．（1+，+∞）9．（5分）已知曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣8x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）11．（5分）圆C1的方程为x2+y2=，圆C2的方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=（θ∈R），过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．2二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．（5分）过点P（6，﹣1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b 的直线方程为．14．（5分）圆心在直线x﹣y﹣4=0上，并且经过圆x2+y2+6x﹣4=0与圆x2+y2+6y ﹣28=0交点的圆的方程为．15．（5分）设P，Q分别为x2+（y﹣6）2=2和椭圆=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是．16．（5分）若F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ，且4|PF1|=3|PQ|，则椭圆的离心率为．三、解答题（本题共6个小题共计70分．请把解答过程写在答题纸上）17．（10分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x 分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．19．（12分）已知双曲线及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．20．（12分）一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形ABCD的三边组成，拱的顶部O距离水面5m，水面上的矩形的高度为2m，水面宽6m，如图所示，一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱平放在船上，已知船宽5m，船面距离水面1.5m，集装箱的尺寸为长×宽×高=4×3×3（m）．试问此船能否通过此桥？并说明理由．21．（12分）已知直线l与圆x2+y2+2x=0相切于点T，且与双曲线x2﹣y2=1相交于A、B两点．若T是线段AB的中点，求直线l的方程．22．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．2014-2015学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．（5分）若0＜α＜，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（）A．α$B．+αC．π﹣αD．﹣α【解答】解：经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的斜率为：=﹣cotα.0＜α＜，∴直线的倾斜角为β．tanβ=﹣cotα=tan（+α）．∴β=+α．故选：B．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+（1﹣a）y=3”与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“直线l1：ax+（1﹣a）y=3”与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，即a=1或a=﹣3，根据充分必要条件的定义可判断：“a=1”是“直线l1：ax+（1﹣a）y=3”与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=1，则a2+b2+c2≤”的否命题是（）A．若a2+b2+c2≥1，则a+b+c= B．若a+b+c=1，则a2+b2+c2＜C．若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＜D．若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＞【解答】解：命题“若a+b+c=1，则a2+b2+c2≤”的否命题是“若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＞”，故选：D．4．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．5．（5分）点P是直线3x+y+10=0上的动点，PA，PB与圆x2+y2=4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，S PAOB=2S△PAO=2PA又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小点P是直线l：3x+y+10=0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=所求四边形PAOB的面积的最小值为2．故选：C．6．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则|BF|的值为（）A．3 B．4 C．5 D．10【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，﹣=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m+2=2﹣3，解得：=2或（（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴|BF|==10故选：D．7．（5分）若直线y=2x+b与曲线y=2﹣有公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2﹣2]B．[﹣2﹣2，2﹣2]C．[﹣2﹣2，2]D．[2，2﹣2]【解答】解：曲线y=2﹣化简为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4（y≤2），如图，是以（2，2）为圆心，以2为半径的圆的下半部分，直线y=2x+b与曲线有公共点，则满足条件的直线斜率为2，在过（0，2）和圆的切线之间的一族平行线，b为直线在y轴上的截距，可求，当直线y=2x+b平移到过点（0，2）时，方程为y=2x+2，此时b=2，当直线平移到与曲线相切时，有圆心（2，2）到直线的距离d等于半径长2，即=2，解得b=2﹣2（舍去）或b=﹣2﹣2，综上，b的取值范围是[﹣2﹣2，2]，故选：C．8．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，1+） D．（1+，+∞）【解答】解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），故选：D．9．（5分）已知曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由曲线C：﹣=1可知﹣=﹣，∴=，∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，∴直线PA1斜率的取值范围是[﹣，﹣]故选：D．10．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣8x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：曲线C1：x2+y2﹣8x=0 即（x﹣4）2+y2=16，表示以C1：（4，0）为圆心、半径等于4的圆．对于曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0，①当m≠0时，曲线C2即y=0，或y=m（x+1），表示x轴及过点（﹣1，0）且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆（x﹣4）2+y2=16 相交，故有＜4，求得﹣＜m＜，且m≠0．②当m=0时，曲线C2：即y2=0，即y=0，表示一条直线，此时曲线C2和曲线C1 只有一个交点，不满足条件．综上可得，实数m的取值范围是（﹣，0）∪（0，），故选：B．11．（5分）圆C1的方程为x2+y2=，圆C2的方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=（θ∈R），过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：圆C1的方程为x2+y2=，圆心坐标为：C1（0，0）半径r=圆C2的方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=，圆心坐标为：C2（cosθ，sinθ）半径R=由于cos2θ+sin2θ=1|c1c2|＞R+r所以两圆相离．过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则要求∠MPN的最大值只需满足：在圆c2找到距离圆c1最近点即可．所以：如下图所示：|PC1|=1﹣=|MC1|=在Rt△MPC1中，根据|PC1|=，|MC1|=解得：所以：∠MPN=即∠MPN的最大值为：故选：C12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．2【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．（5分）过点P（6，﹣1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b 的直线方程为y=﹣x+1或y=﹣x．【解答】解：设直线的斜率为k，所以直线方程为：y=k（x﹣6）﹣1．由题意可知a=+6，b=﹣6k﹣1，因为a=3b，所以+6=3（﹣6k﹣1），解得k=﹣或k=﹣，故所求的直线方程为：y=﹣x+1或y=﹣x．故答案为：y=﹣x+1或y=﹣x．14．（5分）圆心在直线x﹣y﹣4=0上，并且经过圆x2+y2+6x﹣4=0与圆x2+y2+6y ﹣28=0交点的圆的方程为x2+y2﹣x+7y﹣32=0．【解答】解：设经过两圆x2+y2+6x﹣4=0和x2+y2+6y﹣28=0的交点的圆的方程为（x2+y2+6x﹣4）+λ（x2+y2+6y﹣28）=0，即x2+y2+x+y﹣=0，则它的圆心坐标为（﹣，﹣）．再根据圆心在直线x﹣y﹣4=0上，可得﹣﹣（﹣）﹣4=0，解得λ=﹣7，故所求的圆的方程为x2+y2﹣x+7y﹣32=0，故答案为：x2+y2﹣x+7y﹣32=0．15．（5分）设P，Q分别为x2+（y﹣6）2=2和椭圆=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是．【解答】解：设椭圆=1上的点Q（4cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．由x2+（y﹣6）2=2可得圆心C（0，6），半径R=．∴|CQ|==≤8．∴P，Q两点间的最大距离是8+．故答案为：．16．（5分）若F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ，且4|PF1|=3|PQ|，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，设|QF2|=m，|PF2|=n，则|QF1|=2a﹣m，|PF1|=2a﹣n．∵4|PF1|=3|PQ|，∴4（2a﹣n）=3（m+n），∵PF1⊥PQ，∴（2a﹣n）2+n2=4c2，（2a﹣n）2+（m+n）2=（2a﹣m）2．联立，化为n=a，代入可得a2=2c2．解得e=．故答案为：．三、解答题（本题共6个小题共计70分．请把解答过程写在答题纸上）17．（10分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1，∵函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，∴mx2﹣x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2，又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假，若p真q假，则1＜m≤2，若p假q真，则m≤1且m＞2，无解，综上，实数m的取值范围是1＜m≤2．18．（12分）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x 分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．【解答】解：设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴1+a2=r2 ①又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；∴②解①、②得a=±1，r2=2∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=219．（12分）已知双曲线及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：假设符合题意的直线l存在．…（1分）设直线l与双曲线的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．∴．…（5分）∵P（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2．…（7分）∴．…（8分）∴直线l的方程为…（10分）由过p与双曲线有两个焦点时即…（11分）∴不存在符合题意的直线l．…（12分）20．（12分）一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形ABCD的三边组成，拱的顶部O距离水面5m，水面上的矩形的高度为2m，水面宽6m，如图所示，一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱平放在船上，已知船宽5m，船面距离水面1.5m，集装箱的尺寸为长×宽×高=4×3×3（m）．试问此船能否通过此桥？并说明理由．【解答】解：设抛物线弧段COD的方程为y=ax2，由题意得C（3，﹣3），∴﹣3=9a，∴a=﹣∴y=﹣x2，当x=2时，，此时该点距水面5﹣=＜3+1.5∴此船不能通过此桥21．（12分）已知直线l与圆x2+y2+2x=0相切于点T，且与双曲线x2﹣y2=1相交于A、B两点．若T是线段AB的中点，求直线l的方程．【解答】解：直线l与x轴不平行，设l的方程为x=ky+a，代入双曲线方程整理得（k2﹣1）y2+2kay+a2﹣1=0．而k2﹣1≠0，于是=，从而，即T（，）．∵点T在圆上，∴++2=0，即k2=①．由圆心O'（﹣1，0），O'T⊥l 得k O'T•k l=•═﹣1，则k2=2a+1 ②．由①②得a=0或a=1（舍去），当a=0时，k=±1，不满足条件k2﹣1≠0；当a=1时，k=±，l的方程为x=±y+1，∴l的方程为．22．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．【解答】解：（1）根据题意易知，所以，设P（x，y），则=x2+y2﹣3==．故﹣2．（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，M（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，整理得：，∴，由，得：或k，又0°＜∠MON＜90°⇔cos∠MON＞0⇔＞0，∴x1x2+y1y2＞0，又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==．∵，即k2＜4，∴﹣2＜k＜2．故由①、②得，或．（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=﹣y1＞0，故四边形AEBF的面积为S=S△BEF +S△AEF=x2+2y2==≤=2，当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。