换言之：同一族上的两条滑移线与另一族的任一 条滑移线相交，在两点处切线间的夹角与平均应 力的变化均为常数 若单元网格上的三个节点上的值 m , 为已知， 则第四个节点上的 m , 即可求出

推论：若一族的一条滑移线的某一 区段为直线段，则被另一族滑移线 所截得的该滑移线的所有相应线段 皆为直线
第七章 滑移线场理论 简介
第一节 塑性平面应变状态下的应力莫尔 圆与物理平面

平面应变时，独立的应力 分量为 x 、 y 和 xy 。
z 2
x y
2
1 1 m 2 ( 1 3 ) z ( x y ) 2 2

应力莫尔圆中大圆的圆心 为( m ，0)，半径为

建立滑移线场从已知的边界条件开始 已知两相交滑移线OA和OB，作出该两条滑 移线所包围的塑性区OACB内的滑移线场

滑移线场的节点编号是用一有序数组（m， n）表示，其中m为 线的序号，n为β 线 的序号
第四节 滑移线场的速度场理论

据滑移线场的几何性质和给定的应力边界条件，就可以做
但是这样求得的应力解，仅是满足了静力许可条件，是否
一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ3 σ3 K β β
0
σm K σ1 α
σ1 K β σm
K
σm 0 K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
x y 1 2 R K (1 3 ) xy 2 2
2
1 m k 2 m 3 m k
x m k sin 2 y m k sin 2 xy k cos 2
x y tan 2 2 xy
二、滑移线场的建立
1、塑性区的应力边界条件
常见的应力边界条件有以下四种类型 （1）不受力的自由表面
1 2 K , 3 0 1 0, 3 2 K
x m k sin 2 y m k sin 2 xy k cos 2
β
自由表面处的滑移线
1 0, 3 2K
（2）无摩擦的接触表面
τ=0

4
σ3
无摩擦的接触表面
0 β

4
xy 0
与不受力的接触表面一样
α β
σm σ1
σ3 K K
σm
σ1
代数值最大的 主应力σ1的作用线
0 σm K K σ3
σm α
无摩擦接触表面处的滑移线
（3）摩擦力为K的接触表面 cos 2 1 0或 /2 xy K
1 2K 3 2K p;
ma
1 ( 1 3 ) K p 2
根据亨盖应力方程
ma mb 2K
K p ( K ) 2 K ( p 2 K (1

) 4 4


2
)
平面变形挤压

平面变形挤压：挤压 前后的宽度不变。挤 压的程度用挤压前后 的面积比来表示，称 为挤压比。对于平面 变形挤压，可由挤压 前后料厚度之比表示。
8.75时，达到了极限状态， p/(2K)不再随
普朗特场
1 0 2
希尔场
20
根据判断滑移线族性质的规则，可确定滑移线ab为 在b点 根据屈服准则
b

4

线
, 1 0;
1 3 2K ;
3 2K ;
1 mb ( 1 3 ) K 2 在a点 a , 3 p; 4 根据屈服准则 1 3 2K ;


若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同
若两族滑移线均为直线，则此区域内各点的应力状 态相同，称为均匀应力场
2、亨盖第一定理

同一族的一条滑移线转 到另一条滑移线时，则 沿另一族的任一条滑移 线方向角的变化 及 m 均 平均应力的变化 为常数
1,1 2,1 1,2 2,2 常数 m m1,1 m 2,1 m1,2 m 2,2 常数
锻压时的滑移线场
无摩擦条件下平面应变压入时的滑移线场 （a）b＝h （b）b＝2h（3) b<h(1<h/b<8.75)
锻压时的滑移线场

b=nh (其中n 1) 时的滑移线场属于薄件压缩，当 n=1,2,……为整数时，沿每一边交界面各有n个均 匀场。
p /(2K ) 1

b<h 当b<h时，存在扇形场和曲线滑移场，随着 h/b的增大，扇形场和曲线滑移场扩大，p/(2K)随 之增加，这是厚件压缩的特征。
一、滑移线场的主要特性
根据平面塑性应变状态的特点，可知其应力分量 完全可用 m 和K来表示。而K为材料常数，故只要能 找到沿滑移线上的 m 的变化规律，即可求得整个变形 体（或变形区）的应力分布。这就是应用滑移线法求 解平面塑性变形问题的实质。
1、亨盖应力方程
亨盖应力方程给出了滑移线场内质点平均应力 的变化与滑移线转角 ω 的关系式。
出滑移线场，然后根据亨盖的应力方程可得应力解。

满足运动许可条件，并未得到证明。滑移线场的解应该同时 满足静力许可条件和运动许可两方面的条件。

对于塑性加工问题，其边界条件往往不是单一的而是混合
的，即在一部分边界上给定了应力，而在另一部分边界上给 定了速度，在这种情况下，除了要要应用亨盖应力方程外，
y
第二节 滑移线与滑移线场的基本概念
塑性区内每点的应力状态可用平均应力 m 和最大切应力 K 表示，每点的切应力都是成双存在、互等且互相垂直的。 将塑性区内每点的最大切应力方向连接起来，得到两族相 互正交的曲线，称为滑移线，滑移线所遍及的整个塑性区构 成的场，称为滑移线场。
第一主方向顺时针转 / 4 所得的滑移线为 线 线两旁的最大剪应力 组成顺时针方向

σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向

4
σ3方向 σ1方向
K
K
α
σ1 K K
β
σ1

K
判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
滑移线的微分方程
线
dy tg dx
线
dy tg ( ) ctg dx 2
第三节 滑移线场的应力场理论
还需要建立速度方程。
速度间断
若塑性区与刚性区之间或塑性区内相邻两区 之间可能有相对滑动，即速度发生跳跃，此 现象称速度不连续，或称速度间断。 由于材料的连续性和不可压缩的要求，速度 间断线两侧的法向速度分量必须相等，否则 将出现裂缝或者重叠，而切向分量可以产生 间断。 速度间断线必定是滑移线。 沿同一条滑移线的速度间断值为常数。
（4）摩擦力为某一中间值的接触表面
0 xy K
xy
0
1 1 xy cos 2 K
y


r

y
y
m
K

xy
m
K
321Fra bibliotek xy0

x
xy
K K
xy
x

x
a
m
x
m
m
y
xy
a)
b)
摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线

沿同一条滑移线的速度间断值为常数，其方 向随滑移线而改变
dv v d 0
1 1
dv v d 0
2 2
v v
1
2
dv dv
1
2
v v v 常数
1 2
第五节 滑移线场理论在塑性成形中的 应用举例
应用滑移线理论求解塑性成型问题，其 本质就是根据应力边界条件求解滑移线场和 应力状态，并根据速度边界条件求出和滑移 线场相匹配的速度场以进行校核。
m 2k 沿线 m 2k 沿 线
, 在同一条滑移线上为常数
ma mb 2k (a b ) 正号用于 线，负号 线
ma mb 2k (a b )

若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点 的平均应力，则可确定该滑移线上各点的应力状态
xy 0
cos 2 0


4

4

τ=0 β
自由表面 α β
τ=0
4

4
自由表面 β
4
α σm K K σm
σm
K
K
σm
σ1
σm K K
σ1=2K
代数值最大的 主应力σ1的作用线
σ3
σm K K
σ3=-2K
σm
σm
α
α
1 2 K , 3 0
代数值最大的主应力 σ1(=0)的作用线
平冲头压入半无限高坯料
当h/b
h/b而增大，这是由于此时的塑性变形区不能渗透到 水平轴上，仅能产生在接触表面附近的一定区域内， h/b的增大对塑性变形区不再产生影响，我们把这种 压缩称为平板压入半无限体（ h/b >10）。 在自由锻造中，剁刀切断大型钢坯或用压铁在大锻 件上局部压入等锻造工步中，由于钢坯尺寸很大、 且剁刀与压铁的长度远大于宽度，金属变形状态与 平冲头压入半无限体内的问题相近，可以认为是平 面应变状态。