3
sin (θ + µ ) ∂ −sin (θ − µ ) ∂
∂=
∂Sα
∂S β
∂x
sin 2µ
− cos (θ + µ ) ∂ + cos (θ − µ ) ∂
∂=
∂Sα
∂Sβ
∂y
sin 2µ
代入一阶拟线性偏 微分方程：
− sin 2µ
∂p ∂Sα
+ 2R
∂θ ∂Sα
+γ
⎡ ⎢sin ⎣
(α
+2µ
y
β
2
α
1 θ
β
1
α
2 x
y
β
2
α 1β
θ
1 α
2 x
(a) Tresca材料
(b) Coulomb 材料
Tresca材料两族滑移线是正交的，与主应力迹线的夹角为π /4。而Coulomb材料的两族滑移线相互夹角为2μ= π/2-φ，与主 应力迹线的夹解为μ，在本章，我们约定：以第一主应力σ1为基 线，顺时针方向与基线成锐角的称为α线，逆时针与基线成锐解 的称为β线。 α线和β线的微分方程式为：
σx −σy τ xy
2
( ( ) ) ( ) 于是有： sin 2α1 =
± σx
σx −σy 2
−σ y
2
2
+τ
2 xy
;cos 2α1
=
±τ xy
σ x −σ y
2
4
+τ
2 xy
( ( ) ) τα
=
σ
x
−σ 2
y
sin
2α
+τ
xy
cos
2α
⇒
⎧⎪τ α max ⎨ ⎪⎩τ α min
= =
−
τ
C O
(σx,τxy)
α 2μ
2θ β
ccotφ p=(σx+σy)/2
β (σy,τxy)
σ
μα σ3
σ1
第一主应力与x轴的夹角为θ： tan 2θ = − 2τ xy σy −σx
剪切破坏面(α面和β面)与第一主应力方向的夹角为：
2µ = π −ϕ ⇒ µ = π − ϕ
2
42
应力分量 σ x,σ y ,τxy 可表示为：
4.1 基本假设和应力基本方程
在本章分析中，假设土体是理想刚塑性体，屈服 条件为Mohr-Coulomb屈服条件，或Tresca屈服条件。 在荷载作用下，土体中的塑性区域在某些方向可以自 由流动，土体塑性变形较大，弹性变形可以忽略的情 况下，上述刚塑性体假设可以推导出较可靠的近似 解，否则可能引起较大的误差。在岩土工程的稳定性 问题──地基承载力问题、挡土墙压力问题和土坡稳定 性问题中，滑移线场理论得到广泛的应用。
y
σx
γ
σ
x
+
∂σ x ∂x
d
x
σ
y
+
∂σ y ∂y
d
y
τ xy
+
∂τ xy ∂y
d
y
τ yx
+
∂τ yx ∂x
d
x
上述三个式子是滑移线场理论的应力基本方程。方程中只包 含三个未知量，即应力分量 σ x,σ y ,τxy ，如果已知应力边界条件， 就可以求解三个未知量。但是直接求解这些方程在数学上仍有困难 需要应用滑移线法求解。
4.3 应力方程的特征线解法
∂σ x + ∂τ xy = γ cosα ∂x ∂y
∂τ yx + ∂σ y = −γ sinα ∂x ∂y
将
⎧σ ⎪
x
=
p
+
R cos 2θ
⎨σ y = p − R cos 2θ
R = p sin ϕ + c cos ϕ
⎪⎩τ xy = R sin 2θ
代入上式得：
∂σ x + ∂τ xy = ∂p + ∂R cos 2θ − 2Rsin 2θ ∂θ + ∂R sin 2θ +2 Rcos 2θ ∂θ
γ cos
α
∂τ yx + ∂σ y = ∂R sin 2θ + 2Rcos 2θ ∂θ + ∂p − ∂R cos 2θ +2 Rsin 2θ ∂θ
∂x ∂y ∂x
∂x ∂y ∂y
∂y
= ∂p sinϕ sin 2θ + 2 Rcos 2θ ∂θ + ∂p − ∂psin ϕcos 2θ +2 Rsin 2 θ ∂θ
⎧σ ⎪
x
=
p
+
R
cos 2θ
⎨σ y = p − R cos 2θ
⎪⎩τ xy = R sin 2θ
( ) p ─平均应力， p = σ x +σ y 2 = (σ1 + σ 3 ) 2
R ─应力圆半径， R = (σ1 − σ3 ) 2 = p sin ϕ + c cos ϕ
2
在平面应变问题中，平面上任一点都存在着两个相互垂直的 主应力。把表示各点主应力方向的线段连续地联接起来，就得到 二族相互正交的曲线，称为主应力迹线，如下图的1-1和2-2。当 材料处于塑性状态时，每一点都存在两个剪切破坏面，把各点的 剪切破坏面(或称滑移面)连续地联接起来，又可以得到二族曲 线，称为滑移线，如α-α和β-β。滑移线上一点的切线方向就 是相应点的滑移面方向。
) ∂x
∂Sα
+ cos
(α
+2µ
) ∂y
∂Sα
⎤ ⎥=0 ⎦
sin 2µ ∂p ∂Sβ
+2 R ∂θ ∂Sβ
应力分量 σ x,σ y ,τxy 可表示为：
⎧σ ⎪xຫໍສະໝຸດ =p+
R
cos 2θ
⎨σ y = p − R cos 2θ
⎪⎩τ xy = R sin 2θ
( ) p ─平均应力， p = σ x +σ y 2 = (σ 1 + σ 3 ) 2
R ─应力圆半径， R = (σ1 − σ3 ) 2
(2) Coulomb材料
σα
=
σx
+σ y 2
+σx
−σ y 2
cos 2α
−τ xy sin 2α
τα = σ x sinα cos α −σ y sin α cos α +τ xycos 2α −τ yxsin 2α
τα
=
σx
−σ y 2
sin 2α
+τ xy
cos 2α
1
( ) 令: dσα ( ) dα
α =α0
=−
σx
−σ y
sin 2α 0 − 2τ xy cos 2α 0 = 0 ⇒ tan 2α 0 =
−τ xy σ x −σ y
2
( ) ( ( ) ) 于是有： sin 2α0 =
±τ xy
2
σx −σ y
;cos 2α0 =
4
+τ
2 xy
∓ σx −σy 2
σx −σ y
2
4
+τ
2 xy
σ x cos2 α +σ y sin 2 α −τ xy sinα cos α −τ yx sin α cos α
∂Sα
∂x
∂y
∂ = cos (θ + µ ) ∂ + sin (θ + µ ) ∂
∂Sβ
∂x
∂y
2
α 1β
θ
1 dSa α dx dy
2 x
于是：
∂ sin (θ − µ )
∂Sα
∂=
∂ sin (θ + µ )
∂Sβ
sin (θ + µ ) ∂ −sin (θ − µ ) ∂
=
∂Sα
∂Sβ
∂x cos (θ − µ ) sin (θ − µ )
α
∂σ x + ∂τ xy = γ cosα ∂x ∂y
τ xy
∂τ yx + ∂σ y = −γ sinα ∂x ∂y
σy
γ 为土体的容重。
Mohr-Coulomb屈服条件的表达式为： x
⎛σx ⎜ ⎝
−σ 2
y
2
⎞ ⎟ ⎠
+
τ
2 xy
=
⎛σx ⎜ ⎝
+σ 2
y
+
C
2
⎞ cot ϕ ⎟
⎠
sin2
ϕ
dx
β线： d y = tan (θ + µ )
dx
µ =π −ϕ 42
也就是说：一阶拟线性偏微分方程的特征线方程与滑移线方程
是一致的。拟线性偏微分方程数学上的特征线，其物理意义就
是滑移线。双曲线型方程组的解与特征线密切相差。取与滑移
线α、β相重合的曲线坐标系(Sα,Sβ)，根据方向的公式：
y
β
∂ = cos (θ − µ ) ∂ + sin (θ − µ ) ∂
∂τ yx + ∂σ y = 0 ∂x ∂y
( ) σ x −σ y
2
+
4τ
2 xy
= 4C2
上述三式就是传统塑性力学(或称金属塑性力学)滑移线场理 论中的应力基本方程。
在以后的分析中，为了区分屈服条件不同的材料，将满足 Mohr-Coulomb屈服条件的材料简称为Coulomb材料。将满足 Tresca屈服条件的材料简称为Tresca材料。不排水条件下饱和土体 的内摩擦角 ϕ = 0 ，属于Tresca材料。而 ϕ ≠ 0 的土体属于 coulomb材料，或称为 c −ϕ 材料。