10.2 滑移线的沿线力学方程——汉盖 应力方程
x m ksin2 p ksin2 y m ksin2 p ksin2 xy kcos2
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0 x y xy x y y 0
10.3 滑移线的基本性质
一、沿线特性 同一条α滑移线上，任取两点a，b，由
m 2k
得：
ma 2ka mb 2kb
即： 同理
ma mb 2k a b
若该滑移线为β线
ma 2ka mb 2kb
2）ωma= ωmb= ωmc=…。
m , x , y , xy为常数
2.简单场 特点：1）一簇滑移线为直线； 2）另一簇则与直线正交的曲线。
3．均匀场与简单场的组合来自与均匀场相邻的区域，滑移线场必定是简 单场，因为其中有一族滑移线只能是由直线 所组成。
4．由两族互相正交的光滑曲线构成的滑移线场 1) 圆形界面为自由表面或作用均布法向应力，滑移线 场为正交的对数螺旋线网。
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
→
1 m ( ) 2 1 ( ) 4K
m1,1 (1 1 ) m1,2 (1 2 ) 1,1
1 2
1 2
1 1 (1 1 ) 1, 2 (2 1 ) 4K 4K
m2,1
1 1 1 1 (2 1 ) m2,2 (2 2 ) 2,1 4 K (1 2 ) 2,2 4 K (2 2 ) 2 2
→
2,1 1,1 2, 2 1, 2 ＝常数
m m 2,1 m 1,1 m 2, 2 ＝常数 m 1, 2
AD为自由表面，AO为光滑受力面， ADC和AOB为均匀滑移线场，ABC 与均匀场相邻，为简单滑移线场 2.根据受力条件确定σx和σy AD面：σy=0，σx＜0 AO面：σy＜σx＜0
α
β β
α
3.屈服准则确定σm：
σ1-σ3=2K σm= （σ1+σ3 ）/2
α A 0 C D x
AD面： σy=0， σx=-2K，σmF=-K。 AO面： σy =-p， σx=2K-p， σmE=K-p
1）自由表面 2）光滑（无摩擦）接触表面 3）摩擦切应力为最大值的接触表面 4）摩擦切应力为中间值的接触表面
1）自由表面
自由表面：表面上无应力作用，即：σn=0， xy kcos2 0 单元体应力状态（1）σ1=2K； σ3=0 （2）σ1=0， σ3=-2K
2）光滑（无摩擦）接触表面
1）证明接触面上的单位 应力q=K（2+ +2 ）； 2）假定冲头的宽度为2b， 求单位厚度的变形抗力P；
证明：在AH边界上：
AH
4
y xy 0
故 1 y 0 ， 3 x
屈服准则：
1 3 2 K mH 1 3 2
ω角规定 ω角是α线在任意点P的切线正方向与ox轴的夹角。 ox 轴正向逆时针旋转为正ω角，顺时针旋转为负ω角

σ1 ＞ σ3
金属向力大方向流动 顺时针方向切应力 对应α线
四、滑移线微分方程
滑移线的微分方程为 对α线
dy tg dx
对β线
dy tg ' dx tg( ) ctg 2
结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的 平均应力，其余节点的平均应力即可求得。
汉基第一定理
汉盖第一定理： 同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点 处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常 数。
a b c d const ma b mdc const
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另
1 1 m ( 1 2 3 ) 3 ( 1 2 ) p 3 2
p称为静水压力
一、平面变形应力状态的特点
2 max ( 1 3 ) / 2 [( x y ) / 2] 2 xy
x m ksin2 p ksin2 y m ksin2 p ksin2 xy kcos2
2) 粗糙刚性的平行板间压缩，在接触面上摩擦切应力 达到最大值K的那—段塑性变形区，滑移线场为正 交的圆摆线。 3) 两个等半径圆弧所构成的滑移线场，或称扩展的有 心扇形场。
10.6 滑移线应用
冲头压入半无限体(半无限体是指加工件的宽度比冲
头的宽度大得多。由于冲头的长度比宽度大得多，可以认为 是平面塑性应变状态。这类问题用工程法是无法解决的，而 用滑移线法求解却十分方便。) 步骤： 1.根据受力条件画出滑移线场，确定α和β。
ma mb 2k a b
结论1：同一滑移线平均应力σm变化与ω角变化成 正比。
沿α线 沿β线
m 2k m 2k
具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变
化规律。 当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若 滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相 等。
m 0 2k cos2 sin2 x x y m 0 2k sin2 cos2 x x y
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。 将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。 在离a点无限邻近处，坐标轴a和β的微分弧可认为与切线 重合，故有：
第10章 滑移线理论及应用
7.1 滑移线基本概念 7.2 滑移线的沿线力学方程——汉盖应力方程
7.3 7.4 7.5 7.6
滑移线的几何性质 应力边界条件 滑移线场的建立 滑移线应用
塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线。 由于最大剪应力成对正交，因此，滑移线在变形体内成两 族正交的线网，组成所谓滑移线场。 滑移线法是求解理想刚塑性材料的平面应变问题的精确理


光滑接触表面：接触表面无摩擦，即τ=0 通常在塑性加工中，施加压力，且：σn= σ3。
3）摩擦切应力为最大值的接触 表面

摩擦切应力为最大值的接触表面：τ=K
4）摩擦切应力为中间值的接触表面
0 <τ<K σn≠ 0

10.5 滑移线场的建立方法
一、常见的滑移线场
1.均匀场
特点：1）σma= σmb= σmc=…；
论。
根据变形过程，建立滑移场 求解塑性成性问题
（应力分布、变形力、分析变形和毛坯的外性尺寸）
10.1 滑移线基本概念
一、平面变形应力状态的特点 平面变形：某一方向相关的应变为零，即变形仅发 生在一个坐标平面内。由万能胡克定律：
x y
1 1 x ( y z ); E 2 1 1 y ( x z ); E 2
ω=0,dx=dsα,dy=dsβ
m 2k 0 s s m 2k 0 s s
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
当沿 族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数 ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ （或η）值才改变。
4.确定ω角
ADC场： ωF =π/4，
0 E α A x
AOB场： ωE =-π/4
5.由汉基方程求平均压力： σmF-2KωF = σmE-2KωE K -2K×π/4=K-p＋ 2K×π/4
P=2K×(1+ π/2)
2．图二所示的一尖角为2的冲头在外力作用下插入具 有相同角度的缺口的刚塑性体中，接触表面上的摩擦 力忽略不计，其接触面上的单位压力为p，自由表面
变形抗力
b P 2 Lp sin 2 sin 2 K (1 ) 4bK (1 ) sin
3．图所示的一平冲头在外力作用下压入两边为斜面 的刚塑性体中，接触表面上的摩擦力忽略不计， 其接触面上的单位压力为q，自由表面AH、BE与 X轴的夹角为γ ，求：
得： 3 2K, mH
1 ( 1 2 ) K 2
在AO边界上： AO
3 , xy 0, y q(q取正值) 4
ABC与X轴的夹角为。
求：(1)证明接触面上的单位
应力p=2K（1++）；
(2)假定冲头的宽度为2b， 求变形抗力P；
证明：在AC边界上：
C
4
1 xy 0 3 2 K mC ( 1 3 ) K
1 2
在AO边界上：
O , xy 0, 3 p(p取正值) 4
汉基第二定理
沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在与该 滑移线交点处的曲率的变化，等于沿该线移动所经 过的距离，即
R S
其中
；
R S
S（或 S ）是α（或β）
线被相邻两条β （或α）线所截的 微分弧长（见下图所示）
10.4 应力边界条件和滑移线场的绘 制
应力边界条件
xy
0
xy
2G
2G
xz
yz 1 1 0 z ( y x ); 0 E 2 2G 1 z ( y x ) 得： 2
平均应力为： m
1 1 1 ( x y z ) ( x y ) ( x y ) z 3 3 2