xy K cos 2C 60 cos 2 0 ，
z mC 90 MPa 。
在滑移线 4 上， D 2 4 6 12 ， D B 12 = BD 。
mD mB 2K D B 90 2 60 6 152.83 MPa ，所以 D 点应力状态为：
第七章 滑移线场理论与简介作业题答案
12. 已知某物体在高温下产生平面塑性变形，且为理想刚塑性体，其滑移线场如
图 7 — 39 所示， 族是直线旗， 族为一族同心圆， C 应力为 K 60MPa 。试确定 C、B、D 三点的应力状态，
并画出 D 点的应力莫尔圆。
y
4
A
45 ° 30 °
3
2
1
D
B
E
2
C
O
图 7-39
x
1
解：在 线上， B C 4 ，所以 mB mC 2K C B mC 90 MPa ， 所以 C 、 B 两点的应力状态相同。所以 C 、 B 两点处的应力状态为：
x 0, y 2K , mo K , 0 3 4
沿 线在 B 点的倾角 B 4 ，根据 Hencky 应力方程得
mo mB 2K (0 B )
mB K 2K (3 4 4) K (1 )
因变形体关于中线上下对称，因此总挤压力等于上半变形体所受挤压力的 2 倍，即 所需要的挤压力为
P 2
3 4
4
xL h
3 4

2 sin d 2 1) K sin 2 sin d

2hL
4
K (2 3
2 HLK 3 4 4 (2 3 2 1) sin sin sin 2 d 2 2 HLK 2

4
, 3 p ；根据屈服准则有 1 3 2K
1 2K 3 2K p
ma ( 1 3 ) K p
1 2 3 在 b 点： b , 1 0 ；根据屈服准则。有 1 3 2K 4
所以： 3 2 K
p

2b
b
a

在族滑移线场中任意取出一条滑移线 ab ，使其 a 点在接触面上， b 点处在已知应力 状态的自由表面上。 a, b 两点应力状态如下图所示：
2/5
p


3
3 4

4
1

a 点处应力状态

b 点处应力状态
根据判断滑移线线族性的规则，可以确定滑移线 ab 为 线。 在 a 点： a 所以
xy K cos 2D 60cos 6 51.96 MPa ，
z mD 152.83 MPa 。
D 点的应力莫尔圆下图所示

y
, yx

122.83 182.83

0
6

x
, xy
15.试用滑移线法求光滑平冲头压入有深槽的半无限高坯料时的单位流动压力 p（图 7-41） 。 设冲头宽度为 2b ，长为 l ，且 l 2b 。 （设材料的剪切屈服强度为 K ） 解：由于冲头的长度远大于其宽度，因此，冲头下方的塑性区可近似看为平面变形。根据冲 头下方材料的受力情况及深槽侧壁的受力情况， 参考 Prandtl 滑移线场， 建立如下图所示的 滑移线场，即滑移线场由 3 个常应力场和 2 个中心扇形场构成。
H 2h
C D
45 °
F
O
v0
E
A
h

v1
A'
B'
图 7-42
C'
解： 三角形 ABC 和三角形 ABC 是不产生塑性变形的刚性区， 是均匀分布的应力场； AA 是已经变形了只作刚体运动的区域，故 AA 可以认为是自由表面。圆弧 BO, BO 以外则是 未变形的刚性区。根据对称性，只需要分析上半部分。工作时，挤压力全部作用于刚性区的 边界 AB 和 AB 上。 O 点的平均应力和倾角可由边界条件和屈服准则求得。
mB mC 90 MPa ， B C 4 ；
x mC K sin 2C 90 60sin 2 30MPa ，
y mC K sin 2C 90 60sin 2 150MPa ，
对于滑移线 OFB 上的一点，设其方向 角为 （ 4 3 4 ） ，其平均应力为
m mB 2K ( B ) K (1 ) 2K ( 4) K (2 3 2 1)
因此，沿 x 方向的应力分量为
x m K sin 2 K (2 3 2 1) K sin 2
mD 152.83 MPa ， D 12 ；
1/5
x mD K sin 2D 152.83 60sin 6 122.83 MPa ，
y mD K sin 2D 152.83 60sin 6 182.83 MPa ，
16. 图 7—42 表示用平底模正挤压板料，挤压前坯料厚度为 H ，挤出后板料厚 H 度为 h ，挤压比 2 。板料宽度为 B ，且 B H ，即可视为平面应变。设挤压 h 筒(凹模)内壁光精，即 0 ，其滑移线场如图 7—42 所示。试用滑移线法求单 位挤压力，并画出速端图。
3/5
B
mb ( 1 3 ) K
因 a, b 两点处在同一条 线上，根据 Hencky 应力方程有
1 2
ma mb 2K (a b )
即：
K p ( K ) 2 K (

4

3 ) 4
故得单位流动压应力 p 2(1 ) K 8.28K
4/5
所以单位挤压力 p 速端图如右图所示：
P 。 K (1 ) （负号表示受压） HL 2
D 0
v0
O左
v1
O右
4
4
B M
由速端图可知 v1 2v0
O上
F
N
5/5