a b cd const mab mdc const
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x

2k c os2

x
sin2

y


0
m
x

2k s in2

x
cos2

y


0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
在离a点无限邻近处，坐标轴a和β的微分弧可认为与切 线重合，故有：
ω=0,dx=dsα,dy=d
s
12
m 2k 0
s
s
m 2k 0
s
s
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
第10章 滑移线理论及应用
7.1 滑移线基本概念 7.2 滑移线的沿线力学方程——汉盖应力方程 7.3 滑移线的几何性质 7.4 应力边界条件 7.5 滑移线场的建立 7.6 滑移线应用
1
塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线。 由于最大剪应力成对正交，因此，滑移线在变形体内成两族 正交的线网，组成所谓滑移线场。 滑移线法是求解理想刚塑性材料的平面应变问题的精确理论 。
z
m

1 3
(
1
2
3)
3

1 2
(1
2)

p
p称为静水压力
3
一、平面变形应力状态的特点
max (1 3 ) / 2
[(
x

y
)
/
2]2

2 xy
x m ksin2 p ksin2 y m ksin2 p ksin2 xy kcos2
2,1 1,1 2,2 1,2 ＝常数
m m 2,1 m 1,1 m 2,2 ＝m 1,常2 数
18
→ m 2k （沿线）
若该滑移线为β线
同理 ma 2ka mb 2kb
ma mb 2ka b
14
结论1：同一滑移线平均应力σm变化与ω角变化成 正比。
沿α线 沿β线
m 2k m 2k
具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变
化规律。
当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若
滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相
等。
15
结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的 平均应力，其余节点的平均应力即可求得。
16
汉基第一定理
汉盖第一定理： 同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点 处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常 数。
因主应力状态有ω=±π/4：
1 m k -p k 2 m p 3 m k -p- k
ω为最大切应力τ max方向与坐标ox轴的夹角。 4
5
二、最大切应力轨迹线-滑移线形成
对于理想刚塑材料，材料
的屈服切应力k为常数。
在x-y坐标平面上任取一
当沿 族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数 ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ （或η）值才改变。
13
10.3 滑移线的基本性质
一、沿线特性
同一条α 滑移线上，任取两点a，b，由
m 2k 得：
ma 2ka mb 2kb
即： ma mb 2k a b
y

1 E
y

1 2
( x
z );

0 xz 2G
0

1 E

z

1 2
(
y

x
);

0 yz 2G
得：
z

1 2
(
y
x)
平均应力为： m

1 3
(
x
y
z)

1 3
( x
y)
1 2
( x
y )
按右旋规则人为规定，即又α线的正向逆时针转过90°达到β线
的正向。
7
ω角规定
ω角是α线在任意点P的切线正方向与ox轴的夹角。 ox 轴正向逆时针旋转为正ω角，顺时针旋转为负ω角
σ1＞ σ3
金属向力大方向流动 顺时针方向切应力 对应α 线
8
9
四、滑移线微分方程
滑移线的微分方程为 对α线
dy tg
根据变形过程，建立滑移场
求解塑性成性问题
（应力分布、变形力、分析变形和毛坯的外性尺寸）
2
10.1 滑移线基本概念
一、平面变形应力状态的特点
平面变形：某一方向相关的应变为零，即变形仅发
生在一个坐标平面内。由万能胡克定律：
x

1 E

x

1 (
2y
z );
xy
xy 2G
dx 对β线
dy tg'
dx
tg( ) ctg
2 10
10.2 滑移线的沿线力学方程——汉盖 应力方程
x m ksin2 p ksin2 y m ksin2 p ksin2 xy kcos2