河北省唐山市高三数学摸底考试试题文文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{0,1,2,3},{20}A B x x x ==-< ，则A∩B＝ A.{0，1，2} B.{0，1} C. {3} D.{1}2.已知p ，q ∈ R ，1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p·q＝ A.－4 B.0 C.2 D.43.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，S 15＝150，则公差d ＝ A.6 B.5 C.4 D.34.已知a ＝ln3，b ＝log310，c ＝lg3， 则a ，b ，c 的大小关系为 A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b5.函数21()x f x x-=的图像大致为6.双曲线C ：x 2－y 2＝2的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点。

若PO PF=，则S△OPF＝A.14B.12C.1D.27.已知2sin()2410απ=－，则sinα＝A.1225- B.1225C.2425- D.24258.右图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M。

在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P(A)，取自M区域的概率记为P(M)，则A.P(A)>P(M)B.P(A)<P(M)C.P(A)＝P(M)D.P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关9.右图是判断输入的年份x是否是闰年的程序框图，若先后输入x＝1900，x＝2400，则输出的结果分别是(注：xMODy表示x除以y的余数)A.1900是闰年，2400是闰年B.1900是闰年，2400是平年C.1900是平年，2400是闰年D.1900是平年，2400是平年 10.将函数f(x)＝sin2x 的图像上所有点向左平移4π个单位长度，得到g(x)的图像，则下列说法正确的是A.g(x)的最小正周期为2πB.(,0)4π是g(x)的一个对称中心C.x ＝34π是g(x)的一条对称轴 D.g(x)在(0,)2π上单调递增 11.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，3S n ＝a n ＋2，则数列{S n } A.有最大项也有最小项 B.有最大项无最小项 C.无最大项有最小项 D.无最大项也无最小项12.在三棱锥P －ABC 中，∠BAC＝∠PBA＝∠PCA＝90°，PB ＝PCP 到底面ABC 的距离为l ，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为C.4πD.34π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知a ＝5，b ＝(2，1)，且a∥b，则向量a 的坐标是 。

14.若x ， y 满足约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩，则z ＝3x －y 的最大值为 。

15.己知直线0x -+=过椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点C ，若2FA FC =，则该椭圆的离心率是 。

16.已知函数f(x)＝(e x－ax)(lnx －ax)，若f(x)<0恒成立，则a 的取值范围是 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对A 、B 两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：(1)通过茎叶图比较A ， B 两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；(2)举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流：根据所得分数，估计A ，B 两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大，并说明理由。

18.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，己知△ABC 的面积：21tan 6S b A =。

(1)证明：b ＝3ccosA ；(2)若22,5a c ==，求tanA 。

19.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E 是PC 的中点。

(1)求证：PA∥平面BED ；(2)若直线BD 与平面PBC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积。

20.(12分)已知F 为抛物线C ：x 2＝12y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋4与C 相交于A ，B 两点。

(1)O 为坐标原点，求OA OB ⋅；(2)M 为C 上一点，F 为△A BM 的重心(三边中线的交点)，求k 。

21.(12分)己知函数f(x)＝axsinx ＋bcosx ， 且曲线y ＝f(x)与直线2y π=相切于点(,)22ππ。

(1)求f(x)；(2)若f(x)≤mx 2＋1，求实数m 的取值范围。

(二)选考题：共10分。

请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中，圆C ：ρ＝4cosθ。

以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点M(－1，－33)且倾斜角为α。

(1)求圆C 直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)己知直线l 与圆C 交于A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分) 设函数()211f x x x =-++。

(1)画出y ＝f(x)的图象；(2)若()f x m x n ≤+，求m ＋n 的最小值。

唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：DACBD CDCCB AA B 卷：DACBD ADCCBAC二．填空题：（13）(25，5)或(－25，－5) （14）0 （15）33（16）( 1e，e )三．解答题：17．解：（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …6分 （2）A 选手直接晋级的概率更大． 用C A 表示事件“A 选手直接晋级”，C B 表示事件“B 选手直接晋级”．由茎叶图得P (C A )的估计值为(5＋3)÷20＝820＝2 5， P (C B )的估计值为(5＋2)÷20＝720，所以，A 选手直接晋级的概率更大．…12分18．解：（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 1 6b 2tan A 得3c sin A ＝b tan A ．因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin Acos A，又因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ．…4分 （2）由（1）得b ＝3c cos A ＝35cos A ，所以2bc cos A ＝30cos 2A ．…6分由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以8＝45cos 2A ＋5－30cos 2A ，解得cos 2A ＝ 1 5，…10分因此sin 2A ＝ 4 5，即tan 2A ＝4．由（1）得cos A ＞0，所以tan A ＞0， 故tan A ＝2．…12分19．解：（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，∴PA ∥EO ，又PA 平面BED ，EO 平面BED ， ∴PA ∥平面BED ． …4分 （2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ，又由题意可知CD ⊥BC ，且PD ∩CD ＝D ， ∴BC ⊥平面PCD ，则BC ⊥DE ．由PE ＝EC ，PD ＝DC ，则PC ⊥DE ，且PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PBC ，所以∠DBE 即为直线BD 与平面PBC 所成的角．…8分 设AD ＝x ，在Rt△DBE 中，DE ＝2，BD ＝4＋x 2，则sin ∠DBE ＝DE BD ＝ 12，解得x ＝2．…10分∴四棱锥P −ABCD 的体积V ＝ 1 3×PD ×S 矩形ABCD ＝ 83．…12分20．解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 的方程代入C 得：x 2－12kx －48＝0，所以x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－48，即y 1y 2＝(x 1x 2)2122＝16， 从而OA →•OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32．…6分（2）依题意得F (0，3)，设M (x 3，y 3)，因为F 为△ABM 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9， 从而x 3＝－(x 1＋x 2)＝－12k ， y 3＝9－(y 1＋y 2)＝9－x 21＋x 2212＝9－(x 1＋x 2)2－2x 1x 212＝1－12k 2． …10分因为M (x 3，y 3)在抛物线C 上，所以(－12k )2＝12(1－12k 2)，即k 2＝124．故k ＝612或－612．…12分21．解：（1）由f ( π 2)＝a π2＝ π2得a ＝1．…2分f '(x )＝x cos x ＋(1－b )sin x ，由f '( π 2)＝1－b ＝0得b ＝1．所以f (x )＝x sin x ＋cos x ．…4分（2）令g (x )＝mx 2＋1－f (x )＝mx 2－x sin x －cos x ＋1，由g (x )≥0得g (2π)＝4π2m ≥0，所以m ≥0．显然g (x )为偶函数，所以只需x ≥0时，g (x )≥0． …6分g '(x )＝2mx －x cos x ＝x (2m －cos x )，A CEDP O。