1.5定积分的概念 (一)一，学习任务 1．连续函数2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：(2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：②近似代替：③求和：④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．【例题1】求由直线x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2所围成的图形的面积S .思考1在求曲边梯形面积中第一步“分割”的目的是什么？思考2求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？3．变速直线运动的路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内的位移s .【例题2】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝ - t 2+2 , 求汽车在t ＝0到t ＝1这段时间内运动的路程s .二，巩固练习1．和式)1(y 51i i ∑=+可表示为。

( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)2．在求由x ＝a 、x ＝b (a <b )、y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是 ( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ； ④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于。

( )A ．只能是左端点的函数值f (x i )B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确4．在求由函数y ＝1x与直线x ＝1、x ＝2、y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为。

( )A ．[i －1n ，i n ]B ．[n ＋i －1n ，n ＋i n ]C ．[i －1，i ]D ．[i n ，i ＋1n]5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积是。

( )A ．4πB ．5π2C ．3πD ．2π6．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间],1[nin i (i ＝1,2，…，n )上的值可以用______近似代替( )A.n i B ．）（n f 1 C ．）（n i f D ．n17．求直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.5定积分的概念 (二)一，基础知识1、 定积分的定义⎰=badx x f )( ；叫a , 叫b ,[]b a ,叫 , 叫)(x f , 叫x , dx x f )(叫 。

2、定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是： 。

3⎰b adx x f )(1－⎰badx x f )(2的几何意义是： 。

4、定积分的性质： 。

。

。

二、解答题：例1. 函数x x f =)(在区间[]b a ,上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.例2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么? (1) ⎰13dx x （2） ⎰+-12)2(dt t例3.利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-1021的大小.二，巩固练习1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰ba dx x f )(的符号。

( )A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π23sin 相等的是。

。

( )A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdx C.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx3. 定积分的⎰badx x f )(的大小。

( )A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关4. 下列等式成立的是。

( )A.a b dx b a -=⨯⎰0B.21=⎰b a xdx C.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+b a b a xdx dx x )1( 5. 已知⎰ba dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f ba）（⎰=badx x g 10)(,则⎰badx x f )(=______________7. 已知,3)(2=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 26)(___________8. 计算dx x 21031⎰9. 计算dx x 316⎰学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.6微积分基本定理一，基础知识1．微积分基本定理 内容符号2.利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数3. 定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则⎰ba dx x f )(＝____．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则⎰badx x f )(＝_____(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则⎰badx x f )(＝________若S 上＝S 下，则⎰badx x f )(＝______例1计算下列定积分：(1)dx x ⎰211； (2)dx x ⎰π0sin ； (3)dx x x ⎰-212)12（；二，巩固练习1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)()cos ,()f x x F x ==若则(2)()sin ,()f x x F x =-=若则(3)(),()x f x e F x ==若则1(4)(),()f x F x x==若则(5)(),()n f x x F x ==若则3(6)(),()f x x F x ==若则21(7)(),()f x F x x ==若则(8)(),()f x x F x ==若则(1)若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．。

( )2. 定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是由x 轴、函数y ＝f (x )的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的各部分面积的代数和． ( )3．下列各式中，正确的是( )A .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a ) B. ⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b )C ⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a )D ．⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (a )－F (b ) 4．下列积分值等于1的是。

( )A.⎠⎛01x d x B ．⎠⎛01(x ＋1)d x C ．⎠⎛011d x D ．⎠⎛0112d x 5.⎠⎛02(x 2－23x )d x ＝________.6．计算下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋1x 4)d x ； (2)⎠⎛49(1＋x )d x .7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x0≤x ＜π2，1π2≤x ≤2，x －12＜x ≤4，先画出函数图象，再求这个函数在区间[0,4]上的定积分．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.7.1微积分基本定理与应用一，基础知识1，不分割型图形面积的求解求不分割型图形面积的一般步骤如下：同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．例1计算由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．2 分割型图型面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．例2，求直线y＝x，y＝2x，以及曲线y＝x2所围成的平面图形的面积．二，巩固练习1、如图，求由两条曲线2xy-=，24xy-=及直线y= -1所围成图形的面积．2、如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为329a，求直线l的方程．3，在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112，试求：切点A的坐标，过切点A的切线方程．4，求曲线y＝sin x与直线x＝－π2，x＝54π，y＝0所围图形的面积．学习报告（学生）：教学反思（教师）：Ayxo122--1-1A B C D2xy-=24xy-=1.7.1定积分在物理中的应用一 求变速直线运动的路程、位移求做变速直线运动物体位移与路程的方法(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)．(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝b a ⎰v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝ba ⎰|v (t )|d t ＝b a -⎰v (t )d t .(3)物体做变速直线运动时，经过的位移s ，等于其速度v ＝v (t )在时间区间[a ，b ]上的积分，即b a ⎰v (t )d t .例1,、已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.练习1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.例2 动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．练习2、已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.二，求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝b a ⎰F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．例3 ，一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力——位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．练习3，设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：微积分基本定理基础巩固 1.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x等于( )A ．1B ．0C ．π＋1D ．π2．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，2x ，x ＜0，则⎰11-)(dx x f 的值是 ( )A . ⎠⎛-11x 2d x B. ⎠⎛-112x d x C . ⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛012x d x D. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x3．若⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．24．若函数f(x)＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x)＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x ＝( )A .56B .12C .23D .165．已知函数f(a)＝⎠⎛asin x d x ，则f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A ．1B ．1－cos 1C ．0D ．cos 1－1 6．已知⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛019x 2d x，则⎠⎛2[f(x)＋6]d x ＝( )A ．9B ．12C ．15D ．187．已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝3，则t ＝__________.8．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当⎠⎛0α(cos x －3sin x)d x 取得最大值时，α＝__________.9．已知t>1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝________. 10．已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f(x)d x ＝－2，求a 、b 、c的值．定积分的应用一、选择题 1、由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为（ ）2ln .A 2lg .B 21.C 1.D2、π20,sin ≤≤=x x y 与x 轴围成的图形的面积为（ ）0.A 2.B π2.C 4.D3、由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S = （ ）⎰badx x f A )(. ⎰-badx x f B )(. []⎰-badx a x f C )(. []⎰-badx b x f D )(.4、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（ ）316.A 38.B 34.C 32.D 5、若()y f x =与()y g x =是[,]a b 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,x a x b ==所围成的平面区域的面积为 （ ）A ．[()()]ba f x g x dx -⎰ B ．[()()]ba g x f x dx -⎰ C ．|()()|ba f x g x dx -⎰ D ．|()()|ba f x g x dx -⎰ 6、已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到0t t =所走过的路程为 （ ）A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt 7、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围图形的面积是 （ ）A ．2B ．3C ．52D ．4二、填空题1.dx x ⎰-224=___________.2.一物体在力()34F x x =+（单位：N ）的作用下，沿着与力相同的方向从0x =处运动到4x =处（单位：）则力()F x 所作的功为___________.三、解答题：1、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.0,,===x e y e y x （2）.0,23,2,cos ====y x x x y ππ2、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.1,2ln ,1-=-=-=e y x e y x （2）3,==y x y 和1=xy . （3）.2,0,cos ,sin π====x x x y x y3、过原点的直线l 与抛物线：)0(22>-=a ax x y 所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程.4、计算抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形面积.5、计算由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S.6、计算由直线=-，曲线y=x轴所围图形的面积S.4y x。