（高中）高一数学《指数函数》典型综合测试题梳理（附答案详细解析）汇总1．若log 3a<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13 b>1，则( D ) A ．a>1，b>0 B ．0<a<1，b>0 C ．a>1，b<0 D ．0<a<1，b<02．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln (x ＋1)，则函数f(x)的图象为( D )A. B. C. D. 3．下列函数中，在(0，2)上单调递增的是( D )A ．y ＝log 12(x ＋1) B ．y ＝log 2x 2－1 C ．y ＝log 21x D ．y ＝log12(x 2－4x ＋5)【解析】 选项 A ，C 中的函数为减函数；(0，2)不是选项B 中函数的定义域；选项D 中，函数y ＝x 2－4x ＋5恒大于零且在(0，2)上单调递减，又12<1，故y ＝log12(x 2－4x ＋5)在(0，2)上单调递增．4．若函数f(x)＝a x＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为B A ．14 B ．12C ．2D ．4 【解析】 当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12 (舍去)；当0＜a ＜1时，1＋a＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12.6．【多选题】 若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形函数”．给出的下列四个函数中，与函数y ＝log 2x 是“同形函数”的是( BD )A ．y ＝2log 2(x ＋1)B ．y ＝log 2(x ＋2)C ．y ＝log 2x 2D ．y ＝log 2(2x) 【解析】 y ＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴向右平移2个单位，得到y ＝log 2x 的图象，y ＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后得到y ＝log 2x 的图象，根据“同形函数”的定义，可知选BD.7．函数y ＝3x(x≥2)的反函数g(x)＝__log 3x ，x ∈[9，＋∞)__.8．若定义域为(－2，－1)的函数f(x)＝log (2a －3)(x ＋2)满足f(x)<0，则实数a 的取值范围是__(2，＋∞)__，函数f(x)是__增函数__(填“增函数”或“减函数”).【解析】 由x∈(－2，－1)，得0<x ＋2<1.又log (2a －3)(x ＋2)<0，所以2a －3>1，解得a>2，函数f(x)是增函数．9．已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0，则不等式f(log 4x)<0的解集是__⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x<2 __．【解析】 由题意及f(log 4x)<0，得－12 <log 4x<12 ，即log 44－12 <log 4x<log 4412，解得12<x<2.10．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为__(－∞，－3]__．【解析】 令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，因为y ＝log 12t 为减函数，所以y ＝log 12t≤log 128＝－3.11．已知函数f(x)＝log 12 (x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是__(－4，4]__．【解析】 二次函数y ＝x 2－ax ＋3a 图象的对称轴为x ＝a 2 ，由已知，有a 2 ≤2，且满足当x≥2时y ＝x 2－ax ＋3a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a ＞0， 解得－4＜a≤4.12．已知函数f(x)＝log a (2＋x)－log a (2－x)(a ＞0，且a ≠1).(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)求满足f(x)＞0的实数x 的取值范围．解：(1)函数f(x)是奇函数．证明如下：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞0，2－x ＞0， 解得－2＜x ＜2，所以函数f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称．又f(－x)＝log a (2－x)－log a (2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由f(x)＞0得log a (2＋x)＞log a (2－x)，①当a ＞1时，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，2＋x ＞2－x ， 解得0＜x ＜2；②当0＜a ＜1时，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，2＋x ＜2－x ， 解得－2＜x ＜0.综上可知，当a ＞1时，x 的取值范围是(0，2)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－2，0).13．【多选题】 已知函数f(x)＝(log 2x)2－log 2x 2－3，则下列说法正确的是( ABC ) A ．f(4)＝－3 B ．函数y ＝f(x)的图象与x 轴有两个交点 C ．函数y ＝f(x)的最小值为－4 D ．函数y ＝f(x)的最大值为4【解析】 A 正确，f(4)＝(log 24)2－log 242－3＝－3；B 正确，令f(x)＝0，得(log 2x ＋1)(log 2x －3)＝0，解得x ＝12 或x ＝8，即f(x)的图象与x 轴有两个交点；C 正确，因为f(x)＝(log 2x－1)2－4(x ＞0)，所以当log 2x ＝1，即x ＝2时，f(x)取最小值－4；D 错误，f(x)没有最大值，故选ABC.14．已知a ＝log 23＋log 2 3 ，b ＝log 29－log 2 3 ，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为__a ＝b>c__．【解析】 由题意得a ＝32 log 23，b ＝log 232－12＝32 log 23>32，c ＝log 32<1，故a ＝b>c.15．判断函数f(x)＝log 2(x ＋1＋x 2)的奇偶性．解：要使函数有意义，需满足x ＋1＋x 2>0，所以x∈R，故函数的定义域为R ，关于原点对称．因为f(－x)＋f(x)＝log 2(－x ＋1＋x 2 )＋log 2(x ＋1＋x 2 )＝log 2(1＋x 2－x 2)＝log 21＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即该函数为奇函数．16．已知函数f(x)＝lg (3x－3). (1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg (3x＋3)，若不等式h(x)>t 无解，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意得，3x －3>0，解得x>1，所以函数f(x)的定义域为(1，＋∞).因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以值域为R ．(2)因为h(x)＝lg (3x －3)－lg (3x＋3)＝lg 3x－33x ＋3 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3 ，所以h(x)的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上单调递增．又因为0<1－63x＋3<1，所以函数h(x)的值域为(－∞，0).若不等式h(x)>t 无解，则t 的取值范围是t≥0.1．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是g (x )，且g ⎝⎛⎭⎫14＝－1，则f ⎝⎛⎭⎫－12等于( ) A ．2 B ．2 C ．12 D ．2222．若函数y ＝e x 的图像与函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R )B ．f (2x )＝ln2·ln x (x >0)C ．f (2x )＝2e x (x ∈R )D ．f (2x )＝ln x ＋ln2(x >0) 3．函数y ＝1＋a x (0<a <1)的反函数的图像大致是( )4．设函数f (x )＝a x ，g (x )＝，h (x )＝log a x ，正实数a 满足a 0.5<a 0.2，则当x >1时必有( ) A ．h (x )<g (x )<f (x ) B ．h (x )<f (x )<g (x ) C ．f (x )<g (x )<h (x ) D ．f (x )<h (x )<g (x )1．解析：由已知得g (x )＝log a x .因为g ⎝⎛⎭⎫14＝log a 14＝－1，所以a ＝4，所以f (x )＝4x，故f ⎝⎛⎭⎫－12＝4－12＝12.答案：C2．解析：由题意，知f (x )＝ln x .故f (2x )＝ln (2x )＝ln x ＋ln2.答案：D3．解析：先画出y ＝1＋a x 的图像，由反函数的图像与原函数的图像关于直线y ＝x 对称可画出反函数的图像．答案：A4．B 解析：∵由a 0.5<a 0.2，知0<a <1，∴当x >1时，0<a x<1，x 12>1，log a x <0.∴h (x )<f (x )<g (x ).5．若函数y ＝2＋log 3x (x ≥1)，则该函数的反函数的定义域是________． 6．函数f (x )＝log a (3x －1)(a >0，且a ≠1)的反函数的图像过定点________． 7．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，则f －1⎝⎛⎭⎫45＝________． 5．解析：当x ≥1时，y ＝2＋log 3x ≥2，即该函数的值域为[2，＋∞)，因此其反函数的定义域为[2，＋∞).答案：[2，＋∞)6．解析：令3x －1＝1得x ＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝0，即f (x )图像过定点⎝⎛⎭⎫23，0，故它的反函数图像过定点⎝⎛⎭⎫0，23.答案：⎝⎛⎭⎫0，23 7．解析：令1－3x 1＋3x ＝45，得3x ＝19，即x ＝－2，故f －1⎝⎛⎭⎫45＝－2.答案：－2 8．求下列函数的反函数： (1)y ＝log 13(2x ＋1)； (2)y ＝2x ＋12x －1.8．解析：(1)由y ＝log 13(2x ＋1)，得2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫13y ，所以x ＝12×⎝⎛⎭⎫13y－12，对换x ，y 得y ＝12⎝⎛⎭⎫13x－12，所以y ＝log 13(2x ＋1)的反函数是y ＝12⎝⎛⎭⎫13x －12. (2)由y ＝2x ＋12x －1，得2x (y －1)＝y ＋1.∵y ≠1，∴2x ＝y ＋1y －1.①∵2x >0，∴y ＋1y －1>0，解得y >1或y <－1.故反函数的定义域是{x |x >1或x <－1}．由①式，得x ＝log 2y ＋1y －1.因此，所求的反函数为y ＝log 2x ＋1x －1(x <－1或x >1).9．若点A (1，2)既在函数f (x )＝ax 2＋b (x ≥0)的图像上，又在f (x )的反函数f －1(x )的图像上，求a ，b 的值．9．解析：∵f －1(1)＝2，∴f (2)＝1.又f (1)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝73．10．已知f (x )＝log 4(4x －1).(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性； (3)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的值域． 10．解析：(1)由4x －1>0，解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞).(2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(3)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[0，log 415].1．设a ＝log 0.50.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b1．解析：因为0＝log 0.51＜a ＝log 0.50.9＜log 0.50.5＝1，b ＝log 1.10.9＜log 1.11＝0，c ＝1.10.9＞1.10＝1，所以b ＜a ＜c ，故选B.2．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 12．解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图像(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图像依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3.答案：B 3．若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34B ．⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0，1) 3．解析：当a ＞1时，log a 34＜0＜1，成立．当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数．由log a 34＜1＝log a a ，得0＜a ＜34.综上所述，0＜a ＜34或a ＞1.答案：B4．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是( )A ．(0，2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．[2，＋∞) 解析：－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254≤254，又－x 2＋3x ＋4＞0，则0＜－x 2＋3x ＋4≤254，函数y ＝log 0.4x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞).5．函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a ＝________．解析：当a ＞1时，f (x )的最大值是f (3)＝1，则log a 3＝1，∴a ＝3＞1.∴a ＝3符合题意．当0＜a ＜1时，f (x )的最大值是f (2)＝1.则log a 2＝1，∴a ＝2＞1.∴a ＝2不合题意，综上知a ＝3. 6．已知函数f (x )＝log 2a －x1＋x为奇函数，则实数a 的值为________.6．解析：由奇函数得f (x )＝－f (－x )，log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x ，a －x 1＋x ＝1－x a ＋x ，a 2＝1，因为a ≠－1，所以a ＝1.7．如果函数f (x )＝(3－a )x 与g (x )＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．7．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，则1＜a ＜2；若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1，无解．答案：(1，2) 8．比较下列各组对数值的大小：(1)log 151.6与log 152.9； (2)log 21.7与log 23.5；(3)log 123与log 153；(4)log 130.3与log 20.88．解析：(1)∵y ＝log 15x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9.(2)∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，而1.7＜3.5，∴log 21.7＜log 23.5.(3)借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图像，如图所示．在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log 123＜log 153.(4)由对数函数性质知，log 130.3＞0，log 20.8＜0，∴log 130.3＞log 20.8.9．已知log a (2a ＋3)＜log a 3a ，求a 的取值范围．9．解析：(1)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2a ＋3＜3a ，2a ＋3＞0，解得a ＞3.(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2a ＋3＞3a ，3a ＞0，解得0＜a ＜1.综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(3，＋∞).10．已知a ＞0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1，1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )＜0，求m 的取值范围．10．解析：(1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t ，所以f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(x ∈R ).(2)因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，且x ∈R ，所以f (x )为奇函数．当a ＞1时，a x －a －x 为增函数，并且注意到a a 2－1＞0，所以这时f (x )为增函数；当0＜a ＜1时，类似可证f (x )为增函数．所以f (x )在R 上为增函数．(3)因为f (1－m )＋f (1－2m )＜0，且f (x )为奇函数，所以f (1－m )＜f (2m －1). 因为f (x )在(－1，1)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜2m －1＜1，1－m ＜2m －1.解之，得23＜m ＜1.即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，1.一、选择题1．已知f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选D ∵－2＞－3，f (－2)＞f (－3)， 又f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，∴⎝⎛⎭⎫1a －2＞⎝⎛⎭⎫1a －3， ∴1a ＞1，∴0＜a ＜1. 2．函数f (x )＝12x ＋1在(－∞，＋∞)上( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析：选A u ＝2x ＋1为R 上的增函数且u ＞0，∴y ＝1u 在(0，＋∞)上为减函数，即f (x )＝12x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值． 3．已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－[ 3x －⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数．4．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12解析：选B 由已知，得0＜1－2a ＜1，解得0＜a ＜12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 5．设函数f (x )＝a－|x |(a ＞0且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－1)＞f (－2)B ．f (1)＞f (2)C ．f (2)＜f (－2)D ．f (－3)＞f (－2)解析：选D 由f (2)＝4得a －2＝4，又∵a ＞0，∴a ＝12，f (x )＝2|x |，∴函数f (x )为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选D.6．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2的单调递减区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：选B 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在R 上为减函数，欲求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12 x 2－2的单调递减区间，只需求函数u ＝x 2－2的单调递增区间，而函数u ＝x 2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．7．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3D ．32解析：选C 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.8．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，f (x )min＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，所以f (x )的值域为[1,9]．9．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－2)等于( )A ．－7B ．－3C ．7D ．3解析：选A 由f (x )为定义在R 上的奇函数知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1.因此f (－2)＝－f (2)＝－(22＋2×2－1)＝－7，故选A.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ，x ≥1，－x 2＋2ax －3，x ＜1在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(2，＋∞)D ．[1,2)解析：选B 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＞1，a ≥1，(a －1)1≥－12＋2a ×1－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≥1，a ≤3.即2＜a ≤3.故选B.二、填空题 11．若不等式322ax ax－>13对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式即为322ax ax－>3－1，则有ax 2－2ax >－1，即ax 2－2ax ＋1>0对一切实数x 恒成立． 当a ＝0时，满足题意；当a ≠0时，要满足题意，则需a >0且Δ＝(－2a )2－4a <0， 即a 2－a <0，解得0<a <1.综上，实数a 的取值范围是[0,1)． 答案：[0,1)12．若函数f (x )＝1＋a ·3x 在区间(－∞，1]内有意义，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意得1＋a ·3x ≥0在区间(－∞，1]上恒成立，即a ≥－13x 在区间(－∞，1]上恒成立，由－13x 在区间(－∞，1]上的最大值为－13，得a ≥－13.答案：⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ 13．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．解析：荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系式为y ＝2x .当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．答案：1914．函数f (x )＝3x －3－x3x ＋3－x＋2，若有f (a )＋f (a －2)＞4，则a 的取值范围是________．解析：设F (x )＝f (x )－2，则F (x )＝3x －3－x 3x ＋3－x ，易知F (x )是奇函数，F (x )＝3x －3－x 3x ＋3－x ＝32x －132x ＋1＝1－232x ＋1在R 上是增函数，由f (a )＋f (a －2)＞4得F (a )＋F (a －2)＞0， 于是可得F (a )＞F (2－a )，即a ＞2－a ，解得a ＞1. 答案：(1，＋∞) 三、解答题15．已知－1≤x ≤1，求函数y ＝4·3x －2·9x 的最大值． 解：因为y ＝4·3x －2·9x ＝4·3x －2·(3x )2 令t ＝3x ，则y ＝4t －2t 2＝－2(t －1)2＋2， 因为－1≤x ≤1，所以13≤3x ≤3，即t ∈⎣⎡⎦⎤13，3. 又因为y ＝4t －2t 2的对称轴t ＝1∈⎣⎡⎦⎤13，3， 所以当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2. 16．已知函数y ＝22x －1－3·2x ＋5. (1)如果y ＜13，求x 的取值范围； (2)如果0≤x ≤2，求y 的取值范围． 解：由题意知y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.(1)由y ＜13，得(2x )2－6·2x －16＜0， 所以(2x －8)(2x ＋2)＜0，因为2x ＋2＞0，所以2x －8＜0，解得x ＜3， 所以x 的取值范围为(－∞，3)． (2)因为0≤x ≤2，所以1≤2x ≤4，而y ＝12(2x －3)2＋12，于是当2x ＝3时，y 取得最小值，且最小值为12；当2x ＝1时，y 取得最大值，且最大值为52.所以y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，52.17．(2018·荆州中学期中)设函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1210－ax ，a 是不为零的常数． (1)若f (3)＝12，求使f (x )≥4的x 的取值范围；(2)当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值是16，求a 的值．解：(1)由f (3)＝12得a ＝3，不等式f (x )≥4可化为23x －10≥22，∴x ≥4， 故x 的取值范围是[4，＋∞)．(2)当a ＞0时，f (x )＝2ax－10是增函数， 则22a －10＝16，所以a ＝7； 当a ＜0时，f (x )＝2ax －10是减函数，则2－a －10＝16，所以a ＝－14.综上，a ＝－14或a ＝7.18．对于函数f (x )＝a －22x＋1(x ∈R )． (1)判断并证明函数的单调性；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )为奇函数？证明你的结论．解：(1)函数f (x )为R 上的增函数．证明如下：函数f (x )的定义域为R .任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －221x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222x ＋1＝222x ＋1－221x ＋1＝2(21x －22x )(22x ＋1)(21x ＋1). 因为y ＝2x 是R 上的增函数，x 1＜x 2，所以21x －22x ＜0，又2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )为R 上的增函数．(2)因为x ∈R ，f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即a ＝1.所以存在实数a ＝1，使函数f (x )为奇函数．证明如下：当a ＝1时，f (x )＝1－22x ＋1＝2x －12x ＋1.对任意x ∈R ，f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，又f (x )的定义域为R ，故f (x )为奇函数． 1．函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( )A ．8B ．32C ．4D ．2 解析：选D 函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，∴2a －3＝1，解得a ＝2.∴f (x )＝2x ，∴f (1)＝2．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，对于任意实数x ，y 都有( )A ．f (xy )＝f (x )f (y )B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) 解析：选C f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )．故选C.3．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2解析：选C 由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4.4．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( ) A. 6B ．1C ．2 2D ．0解析：选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ，即33＝3a 2，∴a 2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A. 5．某产品计划每年成本降低p %，若三年后成本为a 元，则现在成本为( )A ．a (1＋p %)元B ．a (1－p %)元C ．a (1－p %)3元D ．a (1＋p %)元 解析：选C 设现在成本为x 元，则x (1－p %)3＝a ，∴x ＝a (1－p %)3. 6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，则x ＝________.解析：因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a ＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1.7．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________. 解析：因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 8．某厂2018年的产值为a 万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．解析：2018年产值为a ，增长率为7%.2019年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)(万元)． 2020年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7%＝a (1＋7%)2(万元)．……2022年的产值为a (1＋7%)4万元．9．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x 是指数函数．(1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性，并加以证明．解：(1)由a 2＋a －5＝1，可得a ＝2或a ＝－3(舍去)，∴f (x )＝2x .(2)F (x )＝2x －2－x ，∴F (－x )＝－F (x )，∴F (x )是奇函数．10．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)为多少？解：∵21＋22＋23＋24＋25＝62，21＋22＋23＋24＋25＋26＝126.∴n ≥6，故最少需要6天．1．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3 ＝4＋3＝7.2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________小时．解析：∵细胞分裂一次时有21个细胞，分裂2次时变为2×2＝22个细胞，分裂3次时变为2×2×2＝23个细胞…，∴当分裂n 次时变为2n 个细胞，故可得出2n ＝4 096，∵212＝4 096，∴n ＝12，∵细胞15分钟分裂一次，∴细胞分裂12次所需的时间为12×15＝180分钟＝3小时．故这种细菌由1个分裂为4 096个，这个过程要经过3小时．故答案为3.3．已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0，且a ≠1)． 1)若f (2)＝35，求f (x )解析式；(2)讨论f (x )奇偶性． 解：(1)∵f (x )＝a x －1a x ＋1，f (2)＝35.即a 2－1a 2＋1＝35，∴a ＝2.即f (x )＝2x －12x ＋1. (2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 4．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x 年后，此市人口数为y (万)．(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？解：(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2021年年底的人口数为 130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x 年后的人口数为130(1＋3‰)x (万)． 即y ＝f (x )＝130(1＋3‰)x (x ∈N *)．(2)2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134＜135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)．所以2031年年底的人口数将达到135万．。