第一题、如图，F为。

0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。

"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。

而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。

于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。

又PA= PF,故CD 平分Z A DF。

3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。

上两点，且在AB同侧，。

在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。

“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。

又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。

于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。

K第三题、如图，AB为。

直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。

于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。

“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。

于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。

所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。

〈第三十九届现0预选题）“证明：如图，连接PL根据圆的对称性知，点D在。

上，且PD切。

于臥连接CD 交AB 于T,则CT丄AB,且T为CD中点。

连结17、压。

〃显然TF为2kCDE的中位线，所以TF//AD,所以TKL C E,且ZTFK = ZDAK = ZTCK, 所以C、F、T、K 四点共圆。

于是知ZKTP = 90° - ZKTC = ZKCD = ZKDP；所以、T、D、P、K四点共圖，所以匕TPK= ZTDK =』PCK,所以AP为△PCK外界圆的切线° “第五題、如图，四边形ABCD内接于。

，且AC为。

直径，D关于AC的对称点为E, C 关于BD的对称点为F, AF交BD于G, BE交AC于K,求证：KG丄BG。

（2014年新加坡数学奥林匹克公开褰第二轮试题）3证明方法一：如图，根据条件，显然点E在。

上，从而BC平分ZDBEo设ED交AC 于Mo 注意到ZABC = 90。

，所以AB为匕KBM的外角平分线，于是失噤=翌=役从而M L MB MA竺=竺…CM CK连結GC,根据対称性，GB平分ZAGC,所以挡=岩二妾所以KG为AGC的外魚平分銭，所以KG丄EG。

，E证明方法二：如图，根据条件，显然点E在。

上，从而BC平分匕DBE。

设ED交AC 于M。

注意到/ABC = 90。

，所以K、M、C、A构成一组调和点列。

ggGC,根据对称性，GB平分匕AGC,根据调和性质知KG丄BG。

命题得证。

第六题、如图，PA、PB分别切①。

于A、B, K为。

0上一点,BD I 0K于D,分别宓KP、KA于E、F,证明：E为BF中点。

3证明方法一：如图，过点K作。

的切线KT,则町〃BD。

又KT、KP、KB、K A构成一组调和线束，故E为BF中点。

“证明方法二：如图，延长K。

交。

于T,延长TA交KB于S,连结7B交AK于H,在圆内接六边形AATOBK中使用帕斯卡定理，知S、P、H三点共线。

又KA1TS, TB±KS,故点H为△SIK 垂心。

进而知ZSAP = ZTKA =匕ASP,从而知F为SH中点。

注意到SH II BD, 故E为BF中点。

3第七题、如图，△ABC中，CA = CB, D为AB中点，EF过点D,且使得△ABC与有共同的内心，证明：DE - DF = DA?。

“证明=如图，设厶皿与遂网共同的内心为I, ^AABC的C-S心为点J,则C、D、I、J构成一组调和点列，从而点J也为△CEF的C亨心。

取IJ中点为K,则KI = KJ = KA = KB = KE = KF,故A、E、I、B、F、J 六点共圆，所以DE • DF = DA • DB = DA^。

3第八题、如图，AABC中丿AD平分/BAC交BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F, CE、BF交于点K,证明：AK丄BC。

3诞月：如图，延长曲交BC于G,根据赛瓦定理知岩置.芝=」=驀专=藉, 故AK丄EC。

2第九题、如图"为①0外一点，PA、PB分别切O0于A、B, C为宓上一点，过C作O。

切线分别交PA、PB于E、F, 0C交AB于L, LP交EF于D,证明：D为EF中点。

（1991年四川资蓦题）“证明：如阁，过点L作0C的垂线分别交区PB于M、虬注意到0A1FM. 0E1PN,根' 据西姆松定理逆定理知0、页、F、N四点共圆。

又0P平分ZAPB；故OM = ON,进而知LM = LN。

而MN II EF,故D 为EF 中点。

第十题、如图，点P为①。

外一点，PA、PB分别切。

于A、B, C为G）。

上一点，CD 丄AB于D,过C作O0的切线分别交PA、PB于E、F,证明：CD平分/EDF。

3证明方法一：如图，延长FE交恥于K,过K作。

0切线KT切于T,注意到点K 在P关于6的极线上，故点P也在点K关于。

的极线上，从而知P、C、T共线。

于是^ K、C、E、F构成一组调和点列。

而CD1AB,故CD平分ZEDFo 4踽方法二：如图，作刖丄AB于M,作FK1AB于N,贝嘴=驀=驀=尚故遂他c^AFTID,所以ZEDM = ZFDN,所以ZEDC 二ZFDCo 屮第十一题、如图，应为。

0直径，PA切00于A, PCD为。

）一条割线，P0交BD于E, 证明：AC1AE- 7证明方法一：如图，作PK切00于K,则PE1AK, BK1AK,所以KB/PE。

又注意到四边形CADK为调和四边形，故此、BA、DC、BD构成一组调和线束，从而。

为EF下点，迸而知四边形此即为平行四边形。

于是知AE//BC,从而知AE丄妃宀证明万法二：如图，连績BC交PE于F。

作OK±CD于K,则K为CD中点。

注意到0、K、A、P 四点共圆，故ZAKD= ZFOBo 又ZADK= ZFBO,故厶ADK^AFBOo 注意点0 为AB中点，故△ADC S^FBA,从而知ZFAB = ZACD = ZABD,故AF//BD,于是知四边形AEBF为平行四边形，所以AE// BC,即知AE丄AC。

3证明方法三：如图，延长AE交O。

于K,在圆内接六边形AABDCK中使用帕斯卡定理, 注意到P、。

、E共线，故C、0、K共銭，所以AElACo “第十二题、如图，AB为半圆。

直径，C、D为半圆上两点，过B作半圆。

的切线交CD 于P,直线P0分别交直^ CA、AD于E、F,求证：OE = 0F。

（2007年第四届东南地区数学奥林匹克试题）“证明方法一：如副过P作PG切半圆0于G,连接GA、GB、GC、GD、BC、BDo易知0P1BG, AG1BG,所以AG//OPo又四边形CBDG是调和四边形，所以AC、AD、AG、AB构成一组调和线東。

又因为AG0OP,所以0E = OFo 3踽方法二如副作FG切O0于G,则B、G关于P。

对称，且P、B、0、G四点共圆。

所以ZGP0 = ZGBA= ZGDA,于是知D、P、F、G四点共圆。

进而知ZFBP = ZFGP = ZFDP = ZCDA = ZCBA,故ZFBC = ZPBA = 90° = ZECB,所以。

而。

为AB 中点＞故。

为EF中点。

3第十三題、如图，AABC中，D、E分别为AB、AC上一点，且DE//BC, BECD交于点F,△BDF的外接圆00,与MEF的外接圖伽交于点G,求证：ZBAF = ZCAG。

“证明：如副延长AF交BC于H,因为DE〃BC,所以H为BC中点，延长AH到I,使得AH = HI,连接BC. CI,则四边形ABIC是平行四边形。

z连接促、GE、GD、GE、FG,因为ZACG = ZBFG = ZBDG,所以“、D、G、C 四点共圆。

于是知ZDGC = 180°-ZBAC = ZABL同理可知A、E、G、E四点共圆。

所以ZDBG= ZCEG, ZBDG= ZECG,所以△EDGs&CG,所以務=影=翌=器，所以△ DGC<^A ABI,所以Z BAF=/GDC=Z CAG。

命题得证。

注：点G即为完全四边形ADFEBC的密克点。

〜F1第十四题、如图，00s (DP交于A、B两点，BO、PA延长线交于点C, CD、CE分别切0。

、场于D、E,连接DE交AB于F,求证：F为DE中点。

(深圳黎誉俊老师题〉。

因为CO=sin£CPO = sinZCPO =!!«£^0 = ^ = ££所以&。

05&四于是如丝二三。

CP sin ZCOP sin ZB OP sin ZAOP AP 以‘ B ,j 匕进而易知厶CDBS^CEGSMAE,于是知器=豊=告由段=再知八CDAS&BE,从而坚=里。

BE CE-y- B xpSaoAB _ DA DB sinNADB DA DB 航nNADB _ CD CA sin NAOP _ CD ___________________________sin N&OP r,丁疋一EA EB sin ZAEB — BE AE sinZAEB 一CA CE sin NAPO 一CE sin 匕APO— r2= lo所以F为DE中点。

2三第十五题、如图，半径不相等的两圆G）。

、0P交于A、B两点，过A的直线CD分别交" 00s OP于C、D, CB延长纟戋交①P于F, DB延长线交。

于E,过A.作CD垂线交EF中垂统于G,求证：AG2 = EG2 + AC • AD。