生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。

从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。

研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。

在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。

生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。

生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。

是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。

即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。

一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。

这种生命表成为实际同批人生命表。

但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。

通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。

这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。

2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。

（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。

由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。

（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。

寿险公司有必要对这两类人群分别统计，从而得出寿险生命表和年金生命表。

（3）男性生命表和女性生命表：统计表明，女性的寿命要高于男性的寿命、同龄的男性的死亡率高于女性，对寿险公司来说，有必要根据性别采用不同生命表。

注：表中数据为死亡率。

（4）选择表和终极表：在保险实务中，通常在常规生命表（国民生命表）的基础上设定一个选择期。

在选择期内使用死亡率相对较小的选择生命表，等选择期过了之后，又回复到常规生命表，即所谓的选择–终极生命表。

表3-2：5年选择期的选择-终极生命表示例3、生命表的特征（1）设定了期初总人数；（2）随着年龄的增加，活着的人越来越少，到最后活着的人为零，死亡的总人数等于期初总人数；（3）有极限年龄。

二、生命表的构成要素 1、 派生的生命表结构表3-3：中国人寿保险业经验生命表（男女混合节选，1990 - 1993）注：表中生存人数为基本数据，其它指标可根据生命表基本函数算得。

2、生命表的基本函数 (1) 生存人数x l0l 表示期初总人数，x l 表示在x )0(ω≤≤x 岁还活着的人数。

x l 随着x 的增大而单调递减，并且0=ωl 。

如果有生存函数)(x S ，则有，)(0x S l l x ⨯=(2) 死亡人数x dx d 表示在x )0(ω≤≤x 岁之内死亡的人数，即x 岁的人在未来一年内死亡的人数。

显然， 1+-=x x x l l d∑--=+-+=+++=111...x k kx x x x dd d d l ωω如果用x k d 表示x 岁的人在未来k 年内死亡的人数，则，k x x x k l l d +-=, 这里简记，x x d d =1 。

(3) 死亡概率x qx q 表示)(x 在未来一年内死亡的概率，则，x x x x x x l l l l d q 1+-==同理，)(x 在未来k 年内死亡的概率为，xkx x x x kx k l l l l d q +-==， 这里简记，x x q q =1 (4) 生存概率x px p 表示)(x 活过未来一年的概率，则，xx x l l p 1+=显然，1=+x x q p ，01=-ωp ，11=-ωq 同理，)(x 在未来k 年存活的概率为，xkx x k l l p +=， 这里简记，x x p p =1进一步地，)(x 在存活t 年后，在未来u 年内死亡的概率为，xut x t x t x u t x t x x t x t x u x t x u t l l l l l l l l q p q +++++++++-=-⨯=⨯=| (5) 生存人年数x Lx L 表示所有被考察的)(x 在未来1年内存活的总时间数，其单位为“人年”。

人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是一人年。

在死亡均匀分布的假设下，1~+x x 岁的死亡人数x d 平均存活了21年，而活到1+x l 岁的人活了1年，故，)(21)(212111111+++++=-+=⨯+⨯=x x x x x x x x l l l l l d l L同理，)(x 在未来n 年内存活的总时间数为，)(2)(221111+++++=-+⨯=⨯+⨯=x x x x x x x x n l l nl l n l n d n l n L 这里简记，x x L L =1 (6) 累积生存人年数x Tx T 表示)(x 未来累积生存人年数,∑--=+-+=+++=111...x k kx x x x LL L L T ωω在均匀分布条件下，)(2111++--=++=∑k x x k k x x l l T ω (7) 平均余命x ex e 表示)(x 的平均剩余寿命，xxx l T e =（8）中位死亡率x mx m 表示)(x 平均每存活一年会发生的死亡数，xxx L d m =（9）平均生存年数)(x a)(x a 表示在1~+x x 之间死亡的人在这一年的平均生存时间，xx x d l L x a 1)(+-=*练习：根据生存人数x l 或初始人数0l 和死亡概率x q ，运用生命表基本函数和EXCEL 文件“CLFunction.xls ”制作生命表。

3、生命表运用【例2.1】动物学家研究一种鸟的死亡模型，发现这种鸟的死亡率如下：4.00=q 、2.01=q 、3.02=q 、7.03=q 、14=q 。

假设1000=l ，试构造这种鸟的生命表。

解：【例2.2】已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06，而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。

如果40岁的人生存人数为100人，求43岁时的生存1人数。

解：96)04.01(100)1()1(4040404040404041=-⨯=-=-=-=q l l d l d l l （人）； 24.90)06.01(96)1(414142=-⨯=-=q l l （人）； 02.8393.024.90424243=⨯=⨯=p l l （人）。

【例2.3】利用生命表CL93U 计算下列概率： I 、45岁的人活过46岁的概率； II 、45岁的人在46岁之前死亡的概率； III 、45岁的人活过10年的概率； IV 、40岁的人在50岁之前死亡的概率； V 、40岁的人活过10年在其后1年内死亡的概率； VI 、40岁的人活过50岁在56岁之前死亡的概率。

解：由)(0x S l l x ⨯=， I 、99734.0956592954049454645===l l p ； II 、00266.095659295404995659245464545=-=-=l l l q ； III 、95799.095659291640745554510===l l p ； IV 、026055.0966271941095 9662714050404010=-=-=l l l q ；V 、004209.0 966271937028 94109540515040|10=-=-=l l l q ； VI 、032193.0966271909988 941095405650406|10=-=-=l l l q 。

【例2.4】假定有两位老人今年都是65岁，甲老人今年刚刚体检合格购买保险，乙老人是10年前购买的保险，至今仍在保障范围内。

利用选择 – 终极生命表“表3-2”估计两位老人能活到73岁的概率。

解：甲老人刚刚参保，前5年应使用死亡率较小的选择生命表，5年期满后回归到终极生命表。

乙老人已经参保10年，选择期已过，应一直使用终极生命表。

甲老人：)1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1(727170]69[]68[]67[]66[]65[]65[8q q q q q q q q p --------=)1024.01)(0936.01)(0855.01)(0742.01)(0607.01)(0489.01)(0387.01)(0273.01(--------=575403.0=乙老人：)1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1(7271706968676665658q q q q q q q q p --------=)1024.01)(0936.01)(0855.01)(0781.01)(0714.01)(0652.01)(0596.01)(0545.01(--------=52941.0=【例2.5】现有生命表如下：假设死亡在年内均匀发生，求： I 、这群料人在70岁时的期望剩余寿命； II 、这群老人在71岁时的中位死亡率； III 、这群老人在72岁时的平均生存时间。

解：I 、7074737372727171707017017074070707070)()()()(21)(21l l l l l l l l l l l l l T e k k k +++++++⨯=+==++--=+∑ 8.11000)100400800(2100021)(2)(21707372717470=++⨯+⨯=++⨯++⨯=l l l l l l ；II 、32400800)400800(2)(21171711717171=+-=+-=++l l l l m ；III 、21)(21)(21)72(7372737217272172172727217272=--=--+=-=++++l l l l l l l l l d l L a 。

注：死亡在年内均匀发生时，21)(=x a 。

【例2.6】25岁到75岁之间死亡的人群中，其中30%在50岁之前死亡。

25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2，计算50岁的人再存活25年的概率。