合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，
可以同时改变力的大小与力偶臂的长短，且作用面可以平行
移动，对刚体的作用效果不变。
MO ( F ) r F x Fx
x
r
j
A(x,y,z) y
h
i
j y Fy
k z Fz
r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
符号规定：
为代数量
逆 z 轴看，Fxy使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负。
z
O
Mz F
z
Fxy
Mz F
O
Fxy
> 0
< 0
右手螺旋法则：四指屈向表Fxy绕O点转动方向，拇指
与 z 轴指向一致为正，反之为负。
15
力对轴之矩
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h
(1)先分解F
z
z’
Fr Ft


F Fxy
Fxy＝Fcos Fr ＝ Fsin ( 径向力) 分解Fxy x Ft ＝ Fcos sin ( 圆周力或切向力) Fa ＝Fcos cos ( 轴向力) (2) 求F在 x、y 、z 轴投影。 Fx ＝ Ft ＝ Fcos sin
x’
Fa
§4–3
400N
400N
空间力偶
400N 400N 1000N
讨论空间力偶对物体的作用效果
0.5m
400N 0.2m 0.5m 400N
1000N
（1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
21
力偶矩矢定义式：
M
M rBA F
M rAB F
所以，欲求力对一点之矩，可先求力对过该点三个直角坐
标轴的矩。 MO ( F )

2 2 2 M x ( F ) MO ( F ) MO ( F )
M (F ) cos(M O , i ) x MO (F )
M y (F ) cos(M O , j ) MO (F )
z
经验可知：Fz不能使门转动。只有Fxy对门
有转动效应。且这种转动效应与力Fxy的大小 及其作用线到点O的距离有关。
O
x
力对轴之矩定义式为：
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h
为代数量
h
B
A
y
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面上的投影 对轴与平面交点之矩。
14
2、力对轴之矩 Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h
求：杆受力及绳拉力。 解：研究对象：起重杆AB E F
z
D F2 E
30o
z
30
F1 cos 45
30o
F
x
0

F1 sin 45 F2 sin 45 0
F
y
0

x’

C θ A x
F1 FA
BF
B
FA
P yA θ
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
第四章 空 间 力 系
1
第四章 空间力系
作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且不 能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。 P
A C
E
B
F
m1＝Fr1 y FCy m2＝Pr2
FBy x
z
F
FCz
P
FBz
2
§4—1 空间汇交力系
一、 力在空间直角坐标系上的投影
1、直接投影法
已知力与 x、y、z 轴夹角，即力的方向角α、β、γ。
z
90
Fz
γ β
Fz＝Fcosγ
F Fy y
α
x Fx O
Fy＝Fcosβ
Fx＝Fcosα
3
2．二次投影法 已知力F 与 z 轴夹角γ，以及在与该轴垂直平面上的投影与另
一轴的夹角φ 。 z
(1) F 向 z 轴和 xy 面投影
Fz＝Fcosγ Fxy＝Fsinγ Fy Fxy y (2) Fxy向 x、y 轴投影 Fx＝Fsinγcosφ Fy＝Fsinγsinφ Fx＝Fsinγcosφ




12
MO ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k




力矩矢量在坐标轴上的投影：
B
z
MO (F )


M O ( F ) x yFz zFy

F
i O
x
M O ( F ) y zFx xFz
M y (F ) Fz l F cos l M z ( F ) Fx (l a) F sin (l a )
C
Fx
x’
D E
θ
（方法2）利用 解析式求
x
A
B
y
F
Fz
力的投影
Fx F sin
Fy 0
Fz F cos
M y ( F ) zFx xFz
对照：
x
Fx
F xy
Fy
MO ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k




力对点之矩在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。
18
注意：
理论分析——用力对点之矩。 实际计算——用力对轴之矩。
P
y
F
z
0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
解得：
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
9
§4—2 力对点的矩和力对轴之矩
平面上力对一点之矩，实际上为力使物体对过该点与
平面垂直的轴的力矩。即：
11
y
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩用矢量表示 ——力矩矢 定义式： M (F ) r F
O
B
z
大小： M O ( F ) F r sin 2OAB
MO (F )
F
i O
k
方位： 力矩作用面法线； 指向： 右手螺旋法则。
F
C
空间力偶矩矢为自由矢量。 力为滑移矢量。
F F F
B
B
F
力对点之矩为定点矢量。
rA BA
A
24
3．力偶系的合成与平衡条件
M1 M2
Mn
Mn
M1
M2
Mn
M1
M2
与汇交力系的合成相同，对于空间力偶系：
M Mi
（证明P80自习）
B
F
rBA
d A
C F
大小：力乘以力偶臂 Fd=2∆ABC。
方位：力偶作用面法线。 转向：右手螺旋法则。
22
力偶的性质
(1)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。 (2）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。 （3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
MO (F ) MO (F ) rA F rB F F F MO (F ) MO (F ) (rA rB ) F
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即
F
FR 0