y la x l z0 力作用点坐标 M x ( F ) yFz zFy ( l a ) ( F cos ) F cos (l a ) M y ( F ) zFx xFz l F cos Mz (F ) xFy yFx l 0 (l a ) F sin F sin ( l a ) 20
MO ( F ) r F x Fx
x
r
j
A(x,y,z) y
h
i
j y Fy
k z Fz
r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
第四章 空 间 力 系
1
第四章 空间力系
作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且不 能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。 P
A C
E
B
F
m1＝Fr1 y FCy m2＝Pr2
FBy x
z
F
FCz
P
FBz
2
§4—1 空间汇交力系
一、 力在空间直角坐标系上的投影
1、直接投影法
已知力与 x、y、z 轴夹角，即力的方向角α、β、γ。
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
F
C
空间力偶矩矢为自由矢量。 力为滑移矢量。
F F F
B
B
F
力对点之矩为定点矢量。
rA BA
A
24
3．力偶系的合成与平衡条件
M1 M2
Mn
Mn
M1
M2
Mn
M1
M2
与汇交力系的合成相同，对于空间力偶系：
M Mi
（证明P80自习）
P
y
F
z
0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
解得：
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
9
§4—2 力对点的矩和力对轴之矩
平面上力对一点之矩，实际上为力使物体对过该点与
平面垂直的轴的力矩。即：
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，
可以同时改变力的大小与力偶臂的长短，且作用面可以平行
移动，对刚体的作用效果不变。
符号规定：
为代数量
逆 z 轴看，Fxy使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负。
z
O
Mz F
z
Fxy
Mz F
O
Fxy
> 0
< 0
右手螺旋法则：四指屈向表Fxy绕O点转动方向，拇指
与 z 轴指向一致为正，反之为负。
15
力对轴之矩
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h
M y ( F ) zFx xFz
对照：
x
Fx
F xy
Fy
MO ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k




力对点之矩在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。
18
注意：
理论分析——用力对点之矩。 实际计算——用力对轴之矩。
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：
合力偶矩矢的大小和方向余弦:
y’ y
z
Ft

Fxy y
Ft Fr x
Fa x
6
Fy ＝－ Fa ＝ － Fcos cos
Fz＝－ Fr ＝－ Fsin
二、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力 FR F i
合力投影定理
FRx Fix Fx
FRy Fiy Fy
FRz Fiz Fz
Fz
γ O Fx φ
F
x
Fy＝Fsinγsinφ
Fz＝Fcosγ
4
3、投影与分力的关系
在直角坐标系中，投影与分力的关系和平面问题完全相同。 将力沿坐标轴分解，如图。 （1）投影的绝对值＝分力的大小。 （2）投影的符号为正，分力与相 应坐标轴的方向一致。 力
F
2 2
z
F F zz γ
F Fy F
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
§4–3
400N
400N
空间力偶
400N 400N 1000N
讨论空间力偶对物体的作用效果
0.5m
400N 0.2m 0.5m 400N
1000N
（1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
21
力偶矩矢定义式：
M
M rBA F
M rAB F

k
j
r
A(x,y,z) y

MO ( F ) z xFy yFx

力矩矢的起点：力对点之矩大小和方向都与矩心Ｏ位
置有关，故力矩矢的起点必须在Ｏ点。所以力对点之矩为
定点矢量(定位矢量)。
13
2、力对轴之矩
F
是力使物体绕轴转动效果的度量。
分解
Fz ∥ z
Fxy在与z轴垂直的xy面内
z
经验可知：Fz不能使门转动。只有Fxy对门
有转动效应。且这种转动效应与力Fxy的大小 及其作用线到点O的距离有关。
O
x
力对轴之矩定义式为：
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h
为代数量
h
B
A
y
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面上的投影 对轴与平面交点之矩。
14
2、力对轴之矩 Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h



M (F ) cos(M O , k ) z MO (F )
19
例4-4
直角手柄ABCDE在平面Axy内，力F在垂直与y轴的平面内如图。
求力F对x、y、z轴的力矩。
a 分解力F z l l
z’
解： （方法1）利用合力矩定理 M x ( F ) Fz (l a) F cos ( l a )




12
MO ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k




力矩矢量在坐标轴上的投影：
B
z
MO (F )


M O ( F ) x yFz zFy

F
i O
x
M O ( F ) y zFx xFz
所以，欲求力对一点之矩，可先求力对过该点三个直角坐
标轴的矩。 MO ( F )

2 2 2 M x ( F ) MO ( F ) MO ( F )
M (F ) cos(M O , i ) x MO (F )
M y (F ) cos(M O , j ) MO (F )
求：杆受力及绳拉力。 解：研究对象：起重杆AB E F
z
D F2 E
30o
z
30
F1 cos 45
30o
F
x
0

F1 sin 45 F2 sin 45 0
F
y
0

x’

C θ A x
F1 FA
BF
B
FA
P yA θ
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
z
90
Fz
γ β
Fz＝Fcosγ
F Fy y
α
x Fx O
Fy＝Fcosβ
Fx＝Fcosα
3
2．二次投影法 已知力F 与 z 轴夹角γ，以及在与该轴垂直平面上的投影与另
一轴的夹角φ 。 z
(1) F 向 z 轴和 xy 面投影
Fz＝Fcosγ Fxy＝Fsinγ Fy Fxy y (2) Fxy向 x、y 轴投影 Fx＝Fsinγcosφ Fy＝Fsinγsinφ Fx＝Fsinγcosφ
y
y
投影
Fx F y Fz
2
x
α β F x O Fx