例4-6 图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各
自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩 M 1 = 20 N·m；
力偶（F2，
F
2
）的矩
M
2
=
20
N·m；力偶（F3
，F
3）的矩
M 3 = 20 N·m。试求合力偶矩矢 M 。又问使这个刚体平衡，还
需要施加怎样一个力偶。
z
F2
= ( x i + y j + z k ) ×（ Fxi + Fy j +Fzk ）
= (yFz– zF y) i + (zFx– xFz ) j + (xFy– yFx ) k
ijk =x y z
Fx Fy Fz
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
M o (F) = M ox i + M oy j + M oz k M ox = (y Fz – z Fy ) M oy = (z Fx – x Fz ) M oz = (x Fy – y Fx )
Fx 0
F3 cos sin F2 0 F2 F3 cos sin
Fiy 0
F1 F3 cos cos
第四章 空间力系的合成与平衡
z
D
F3
C

A

y
F2
F1
B
x
P
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第四章 空间力系的合成与平衡
例4-3 重力P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定在同
k
O
Fz
d
rxy A
F F
F xy
M z(F) = ( r xy× Fxy ) ·k
课程：理论力学
M z (F)
第四章 空间力系的合成与平衡
代数量；
Fxy d ；
按右手定则来确定正负号。
M z (F) = 0
⑴ 当力与轴相交时； ⑵ 当力与轴平行时；
单位∶N ·m，kN ·m
力对轴之矩的合力矩定理:合力对于任一轴之矩等 于各分力对于同一轴之矩的代数和。
F F cos F
b
y
a2 b2 c2
0.4 2 80 32 2N
F F cos F
c
z
a2 b2 c2
1
F
c 2
o
ay
b
x
x
1
0.6 2 80 24 2N
2
设力F与
z 1
轴之间的夹角为

，则
F F cos F a2 c2 4 80 64N
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
3.力对于点之矩与力对于通过该点的轴之矩间的关系
力矩关系定理:力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上 的投影等于力对于该轴之矩。
Mo (F) cos Mz (F) [Mo (F)]Z
应用上述定理可以求出力对于坐标轴之矩的解析表达式。
FDA
DO DA

0
DB 20 3, DA 20 5;
FDB
FDC
P FDA
EO
AO
Fiz
0;
FDB 2 DB FDA
P0 DA
FDA
3 P 745N , 3
FDB=FDC=289N
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第二节 力对点之矩与力对轴之矩
1. 相对于点的矢量表示M0( F )
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第四章 空间力系的合成与平衡
第一节 空间汇交力系的合成与平衡 第二节 力对点之矩与力对轴之矩 第三节 空间力偶系的合成与平衡 第四节 空间任意力系的合成与平衡 第五节 重心
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第一节 空间汇交力系的合成与平衡
一、空间力沿坐标轴的分解与投影 空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。可
Fx
Fy
y
x
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos
二次投影法
Fx F cos cos, Fy F cos sin Fz F sin
即 F Fx2 Fy2 Fz 2
cos Fx / F , cos Fy / F, cos Fz / F
z1
a2 b2 c2 5
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
解法二 二次投影法
设力F与Oxy平面的夹角为，
z
z
1
y 1
则得力F在oxy平面上的投影的大小
为
F F cos F xy
于是有
a2 b2 a2 b2 c2
1
F
c 2
o
ay
b
x
x
1
F F cos F a2 b2 a 40 2N
作用力F＝80N，方向如图所示，试分别计算：（1）力
F在x、y、z轴上的投影；（2 )
力F在
z 1
轴上的投影。
z
y
z
1
1

F
1
c 2o
b x
ay
x 1
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第四章 空间力系的合成与平衡
解法一 一次投影法
F F cos F
a
x
a2 b2 c2
z
z
y 1
1
0.5 2 80 40 2N
二、空间汇交力系的合成与平衡
这里只介绍解析法。
z
F1
x
空间的合力投影定理(合成)。
F2
各分力 Fi=Fx i+Fy j +Fz k
F y 则合力
FR Fi Fx i Fy j Fz k
Fn
合力在某一轴上的投影，等于力系中 所有各力在同一轴上的投影的代数和
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
FR FRx2 FRy2 FRz2 ( Fx )2 (Fy )2 ( Fz )2
FRx
cos
Fx
FR
FR
平衡的必要与充分条件：该力系的合力为零。
空间汇交力系的平衡方程
注意：
Fx 0,Fy 0,Fz 0,
(1) 当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力 系也平衡。
A
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第四章 空间力系的合成与平衡
Mx = ∑Mx = － M3－ M4 cos 45o － M5 cos 45o = －193.1 N·m
My = ∑My = － M2 = －80 N·m
Mz= ∑Mz = － M1－ M4 cos 45o － M5 cos 45o = －193.1 N·m
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶,则该合力偶矩矢等于力偶 系中所有各力偶矩矢的矢量和。
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所有的 各力偶矩矢的矢量和为零 。
投影形式有
M 0
M x 0, M y 0, M z 0,
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
例4-5 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受 的切削力偶矩均为 80 N·m 。求工件所受合力偶的矩在 x，y，z 轴上的投影 Mx ，My ，Mz ，并求合力偶矩矢的大小和方向。
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。
一墙上，试求：杆AD、绳DB，DC的约束力。
FDB
FDC
P FDA
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第四章 空间力系的合成与平衡
解：这是空间汇交力系，取D点为汇交点。有
Fix
0;
FDB
BEE,DB=DC，则：FDB=FDC
Fiy

0;
FDB
DO DB

FDC
DO DC
F2
F3
O
y
F3
F1
x
F1
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解：1.画出各力偶矩矢。
第四章 空间力系的合成与平衡
z
2.合力偶矩矢 M 的投影。
M1
M3
M2
45° 45°
y
O
Mx = ∑Mx = M1x + M2x + M3x = 0 x
My = ∑My = M1y + M2y + M3y = 11.2 N·m Mz = ∑Mz = M1z + M2z + M3z = 41.2 N·m
M0( F ) r F (yz zy) i (yz xz) j (zy yz) k
其中: F Fx i Fy j Fz k ,r x i y j z k
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第三节 空间力偶系的合成与平衡
1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念
z
M o (F)
kr O
ij
x
B F
A (x，y，z)
y
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z
k
O i
j
x
第四章 空间力系的合成与平衡
B F
A (x，y，z)
r
y
r = xi + yj + zk F = Fxi + Fy j +Fz k