MO(F x) MO(F y) x
xFy yFx
y Fx
Fy Fxy
按同类方法求得其他两式：
M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
3. 力对点的矩和力对轴的矩的关系
M O (F ) ( yFz zFy ) i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
掌握力在空间坐标轴上的投影、力矩的计算 掌握空间力系的简化方法 掌握平衡问题的求解方法
掌握计算物体重心的方法
§4-1 空间汇交力系
Concurrent force system in space
1. 力在直角坐标轴上的投影
z
若已知力F与正交坐标系 Oxyz三轴间的夹角，则可用直接
投影法。即 Fx = Fcosα
B
d
rA F rB F
rA F rB (F)
(rA rB ) F
rBA F
与点O无关
F’
rB rBA
F A
O rA
M
力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关，以
为
记号M(F,F)或M表示力偶矩矢
自
M( F, F ) M rBA F
自由矢量
由 矢
M F rBA sin Fd
这个定理表明：
力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面)，而不 改变对刚体的作用效应。
只要保持力偶矩矢量的方向和大小不变 （F，d 可变），则力偶对刚体的作用 效应就不变。 力偶矩矢是空间力偶作用效果的唯一度量。
3.空间力偶系的合成与平衡条件
（1）空间力偶系的合成 设作用于刚体上的两个力偶 M1, M2
M M
B
F d
C
F
A
力偶对刚体的作用效果决定于以下三个要素
（1） 大小：力与力偶臂的乘积； M Fd
（2） 方向：转动方向；
（3） 作用面方位。
力偶矩矢遵循右手螺旋法则：四 指按照力偶的转动方向弯曲，拇
指的方向为力偶矩矢的方向。
2.空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
MO ( F ) MO [M x ( F )]2 [M y ( F )]2 [M z ( F )]2
cos ( MO , i )
M x (F)
,
MO( F )
cos ( MO , j )
M y (F)
,
MO( F )
cos ( MO , k )
M z (F)
MO( F )
例4-3 在棱长为 b 的正方体上作用有一力F，求该力
FR (Fxi )2 (Fyi )2 (Fzi )2
空间汇交力系的
平衡方程 Fxi 0, Fyi 0, Fzi 0
例4-1 在刚体上作用有四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下 表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。
解： Fx 5 kN Fy 30 kN Fz 6 kN FR (Fxi )2 (Fyi )2 (Fzi )2 31 kN
z
l
l/2
M1
z
M5
M 4 M2 l
45°
y
M3
45°
M2
A M4
l
l/2
M3
O
M5
M1
y
x
x
解：合力偶矩矢在x,y,z轴上的投影为
M x M x M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1 N m
M y M y M 2 80 N m
M z M z M1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1 N m
30°
F
B
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
F1 F2 3.536 kN, FA 8.66 kN
Py A
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
The moment of a force about a point or an axis
Fy = Fcosβ
Fz
F
γ
β α
z
Fz = Fcosγ
Fz
F
Fx x
间接投影法
γ Fx φ
Fy y
Fx = Fsinγcosφ Fy = Fsinγsinφ Fz = Fcosγ
x
Fy y
2.空间汇交力系的合成
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的
作用线通过汇交点。合力矢为
n
FR F1 F2 Fn Fi
§4-3 空 间 力 偶
System of force couples in space
1.力偶矩以矢量表示，力偶矩矢
空间力偶对刚体的作用效应，可用力偶矩矢来度量， 即用力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。
设有空间力偶(F,F)，其力偶臂为d，如
图所示。力偶对空间任一点O的矩矢为
M
n
MO ( F, F ) MO ( F ) MO ( F )
B
y
FAx A
O
x
F2 O2
FBx
F 2
解：取整体为研究对象
由于构件自重不计，主动力为两个力偶，由力偶只能由力偶来 平衡的性质，轴承处的约束力也应该形成力偶。
M x 0, 400 mm F2 800 mm FAz 0 M z 0, 400 mm F1 800 mm FAx 0
zD
E
30°
C
F
B
P A
y x
解：取起重杆与重物为研究对象
zD
CBE=DBE=45 F x 0 F1 sin 45 F2 sin 45 0
E
F2
30°
C
F
B
F1
F y 0
FA P A
y
FA sin 30 F1 cos 45 cos30 F2 cos 45 cos30 0 x z
E
F z 0
cos(FR , i) 5 / 31, cos(FR , j) 30 / 31, cos(FR , k) 6 / 31 (FR , i) 8043', (FR , j) 1436', (FR , k) 7850'
例4-2 如图所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链 固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在 墙上的点C和D，连线CD平行于x轴。已知： CE=EB=DE,=30, CDB平面与水平面间的夹角EBF=30， 物重P=10kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压 力和绳子的拉力。
xFz
M O
(
F
) z
xFy
yFx
2.力对轴的矩
z
度量力对绕定轴 转动物体的作用效果
门上作用一个力 F
假定门绕 z 轴旋转
将力 F 向 z 轴和 xy 面分 解成两个分力 Fz 和Fxy，
显然力 Fxy 使门绕 z 轴 旋转。
F Fz
Fxy
y x
z
Fz
F Fxy
F
oh
A
B Fxy
Mz (F) MO (Fxy ) Fxy h
这两种情形可以合起来说：当力与轴在同一平面 时，力对该轴的矩等于零。
力对轴的矩的单位为 Nm
力对轴的矩之解析表达式 设空间中有一个力 F
z
Fz
F
力作用点 A（ x，y，z ）;
F 在三轴的投影分别为 Fx，Fy，Fz ;
A(x, y, z) Fy
Fx
MZ (F) MO(F xy)
O
y
x
根据合力矩 定理，得
n
Mi 0
i 1
Mi 0
n
n
n
M ix 0, M iy 0, M iz 0
i 1
i 1
i 1
M x 0, M y 0, M z 0
例4-5 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的
切削力偶矩均为80Nm。求工件所受合力偶的矩在x,y,z轴上的投影
Mx,My,Mz。
例4-8 O1和O2圆盘与水平轴AB固连， O1盘面垂直于z轴， O2盘面 垂直于x轴， 盘面上分别作用由力偶(F1,F1)、 (F2,F2) ，如图所示。 如两盘半径均为200mm, F1=3N, F2=5N, AB=800mm, 不计构件自 重。求轴承A和B处的约束力。
z
F1
FAZ F1
O1 FBZ
r x i y j z k,
F
Fx i Fy
jF z k
i jk
MO ( F ) rF x y z
Fx Fy Fz
( yFz zFy ) i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
M O
(
F
) x
yFz
zFy
力矩矢在三个坐 标轴上的投影
M O
(
F
) y
zFx
n
M M1 M2 Mn Mi
i 1
合力偶矩矢的解析表达式为
M M xi M yj M zk
n
n
n
M x M ix , M y M iy , M z M iz
i 1
i 1
i 1
合力偶矩矢在x,y,z轴上投影等与各分力偶矩矢在相应轴上投影 的代数和（为便于书写，下标i可略去）。
MO(F) r F MO (F) r F
大小：
MO(F) r F
M O(F)
力的大小与 力臂的乘积
F r sin
Fh 2OAB
方向： 转动方向
O
i
x
作用面方位： 右手螺线法则
z