FDz
D
y
FDx
FDy
Fy 0,
FAy FDy 0
x
M x (F) 0, M1 FAz b FAy c 0
FDx

0, FAz

FDz

M2 a
, FAy

FDy

M3 a
, M1

M2b a
M 3c
已知：等边三角形板的边长为a，
例 6 在板面内作用一矩为M的力偶，板、
空间平行力系
FZ 0 M x(F ) 0 M y (F ) 0
平面任意力系
Fx 0 Fy 0 M z (F ) 0
7. 重 心 重心的坐标公式
xC

Pi xi P
yC

Pi yi P
zC

Pi zi P
z B
F
A
O
h
a
b Fxy
x
Mz(F) = Mo(Fxy) = ± Fxyh = ±2△oab
● 力对轴的矩等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面 交点的矩。
z
Fz F
B
A(x,y,z)
Fy
Fx
y O
M
x (F )

yFz

zFy

M y (F ) zFx xFz
M
z
(F
)

xFy
MO (FR ) MO (F ) M z (FR ) M z (F )
4. 空间力偶及其等效条件
空间力偶的定义
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶的转向； (3) 力偶作用面的方位。
M
自由矢量
空间力偶的等效条件
M
B
F
F
A
两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。
5. 空间力系的简化结果
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
FR′ ≠ 0
MO = 0 MO≠0
平衡 合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关
MO≠0 FR′ ⊥ MO
合力
合力作用线离简化中心O的距离
d MO FR
FR′∥MO 力螺旋 力螺旋的中心轴通过简化中心
MO≠0
FR′ 与 MO 力螺旋
成角
力螺旋的中心轴离简化中心O
已知：力偶矩M2和M3
例5
求：平衡时M1和支座
FAz A
z
A、D的反力。
M1
FAy
a
解：取曲杆为研究对象
C
Fx 0, M y (F) 0,
FDx 0
B
FAz a M2 0
M2 b
M3
c
Fz 0,
FAz FDz 0
M z (F) 0, M3 FAy a 0

2. 力矩的计算 （1）力对点的矩
z
BF MO(F)
MO(F) =Fh=2△OAB
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
i jk MO(F) r F x y z
Fx Fy Fz ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
（2）力对轴的矩
的距离为
d MO sin
FR
6. 空间任意力系的平衡方程
基本形式
Fx 0, Fy 0, Fz 0 M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间汇交力系
空间力偶系
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
yC

Pi yi Pi
zC

Pi zi Pi
若物体是均质的，得
x
xdV
ydV
zdV
xC
V
V
,
yC
V
V
,
zC
V
V
z
△Vi
Pi
C
O
yi
zi P
zC
y
xi xC
yC
x, y, z 代表微体积的形心在直角坐标系下的坐标。
曲面：
xdA
ydA
zdA
xC
A
30mm 10mm
C1
解: 建立图示坐标系
x1=－15, y1=45, A1=300
C2
x2=5, y2=30, A2=400 x3=15, y3=5, A3=300
10mm
o
30mm
C3
30mm
x
xc

xi Ai Ai

x1A1 x2 A2 x3 A3 A1 A2 A3
2mm
O
xc 0
ydA
yC
A
A
2 R cos 1 R2d
3
2
1R2d
2
2R sin 3
B
x
半圆形的重心：
yC

4R
3
（2）用组合法求重心
(a) 分割法
例题9
求：Z
公式：xc 形截面重心。
xi Ai Ai
，yc
yi Ai y Ai

yFx

（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系
MO (F MO (F
)x )y

M x(F) M y (F)

MO (F )z

M z (F)

● 力对点的矩矢在通过该点 的某轴上的投影，等于力对该 轴的矩。
3. 合力矩定理
● 力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力对同 一点（或同一轴）之矩的矢量和（代数和）。

F1r1 F2r2 F1 F2
x
结论：合力的作用点只与各 个力的大小及作用点有关， 而与平行力系的方向无关。
投影
rC

Firi Fi
xC

Fi xi Fi
yC

Fi yi Fi
zC

Fi zi Fi
２. 重心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得
xC

Pi xi Pi
解得
F4

F5

F6


4M 3a
(压),
F1

F2

F3

2M 3a
(拉)
§4-9 重心
1. 平行力系中心 FR = F1+F2
由合力矩定理可确定合力作用点C：
F1 F2 FR BC AC AB
F1
A C
FR F2
B
★ 平行力系的合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用
点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力 系的中心。
MCB (F ) 0, F1 a cos30 F4 sin 30 a cos30 0
30°
E
MCA(F ) 0, F2 a cos30 F5 sin 30 a cos30 0
M AB (F ) 0, F3 a cos30 F6 sin 30 a cos30 0
A
,
yC
A
A
,
zC
A
A
x, y, z 代表微面积的形心在直角坐标系下的坐标。 曲线：
xdl
ydl
zdl
xC
l
l
,
yC
l
l
,
zC
l
l
x, y, z 代表微段的形心在直角坐标系下的坐标。
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）积分法：简单几何形状物体的重心
例题7
求：半径为R，圆心角为2
的均质圆弧线的重心。
A
y dl
d B
解: 取圆心 O 为坐标原点

o
x
xc 0
ydl
yC
l
l

R cos Rd

R 2
R sin
例题8
求：半径为R，圆心角为2 的
均质扇形的重心。
A
解: 取圆心O为坐标原点
y
d
杆自重不计；
A
求：杆的内力。
F1
解: 取板为研究对象
1
C
F6 F3
M
B
F4
3F5
5
F2
4F 6 30°
30° 2
MFC (F ) 0, F4 cos30 a cos30 M 0
D
MDA(F ) 0, F5 cos30 a cos30 M 0
MEB (F ) 0, F6 cos30 a cos30 M 0
由合力矩定理，得
rC FR r1 F1 r2 F2
设力的作用线方向的单位矢量为 F0
rC FRF 0 r1 F1F 0 r2 F2F 0
z A
r1
O
F1
C
rC r2
FR
F2
B y
FRrC F 0 F1r1 F 0 F2r2 F 0
rC

F1r1 F2r2 FR
yc

yi Ai Ai

y1A1 y2 A2 y3 A3 A1 A2 A3