r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k )
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
例 题 3
已知： P 、 a、b、c
求： 力P 对OA轴之矩
z
解 （1）计算 M ( P) o
FB
FE P / cos 2 FA FB P tan 2
x
FA
P
§4–2
力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
M O (F )
MO ( F ) r F
MO(F) =Fh=2△OAB
例题 2
解： (1)
已知：F、 a、b、、 求： MO(F) 直接计算
i j k
xa M O ( F ) Fb sin i Fa sin j y b ( Fb sin sin Fa sin cos ) k z0 Fx F cos sin Fy F cos cos
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
●力对点的矩矢在通过该点的 某轴上的投影，等于力对该轴 的矩。
M O ( F ) x M x ( F ) M O (F ) y M y ( F ) M O ( F ) z M z ( F )
FR
cos( FR , j )
Fy FR
Fz cos( FR , k ) FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即
FR 0
F
x
0
F
y
0
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
(2)
利用力矩关系
M x ( F ) Fz b Fb sin M y ( F ) Fz a Fa sin M z ( F ) Fxb Fy a Fb sin sin Fa sin cos
M O ( F ) M x ( F ) i M y ( F ) j M z ( F )k Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
y
M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
i MO (F ) r F x Fx j k y z Fy Fz
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
z
解： 取球体为研究对象
Fz 0, FE cos P 0 Fx 0, FA FE sin cos 45 0 Fy 0, FB FE sin sin 45 0
FE
E

O B
A y
C
解得：
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR F i
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx
FRy Fiy Fy
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
F cos( F , i )
R x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
MO (F ) 2OAB
Mz (F ) Mo (Fxy ) 2Oab
Mz(F)
(x,y,z)）
OAB cos Oab
Fxy
MO (F ) cos M z (F )
MO (F )z M z (F )
M O (F )x M x (F ) M O (F )y M y (F ) M O (F )z M z (F )
M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z ( F ) Fy x Fx y
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x M O ( F ) zFx xFz M y ( F )
Fxy h 2OAB
★ 力对轴的矩等于力在垂 直于该轴的平面上的投影对 轴与平面交点的矩。
x
Fz
O h A
F
B
b
Fxy
y
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。 ☆ 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
MO(F) 定位矢量
z
2.力对轴的矩
Mz(F)
M z (F ) Mo (Fxy )
第 四 章 空 间 力 系
§4–1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos