r2
O' P r2
E
3 0
r1
r2
3 0
rOO'
由上述结果可知在空腔内各点场强都相等,方向由 O 指向 O' ,这是均匀场.
17-11 解: 如图选取高斯面
(1) r R 时
E1
dS
r 2dl 0
E1
2
rdl
r 2 dl 0
图 17.11
E1
r 2 0
E1
r 2 0
er
r R时
U3 r
r E3 dr
Q1 Q2 dr r 40r2
Q1 Q2 Q1 Q2 40r r 40r
(b) R1 r R2 Ⅱ区
U2
r
R2 r
E2
dr
R2 E3 dr
R2 r
Q1 4 0 r 2
dr
R2
Q 1 Q 4 0 r 2
2dr
Q1
R2
Q 1 Q
高斯面.高斯定理给出
E2S q内 0
当D d 时 2
q内 2DS
图 17.7
E D 0
当D d 时 2
q内 dS
E d 2 0
方向垂直板面 q 0 向外 q 0 向内
图 17.9
17-9 解: (1) （a） r R1 时, Ⅰ区
E1 dS 0 E1 4 r2 0
E1 0
(b) R1 r R2 时, Ⅱ区
E2
dS
Q1 0
E2
4 r2
Q1 0
E2
Q1 4 0 r 2
E2
Q1 4 0 r 2
r
(c) r R2 时 Ⅲ区
E3
dS
Q1 Q2 0E3Fra bibliotek4 r2
Q1 Q2 0
E3
Q1 Q2 4 0 r 2
E3
Q1 Q2 4 0 r 2
r
(2) (a) r R2 时 Ⅲ区
EdS1cos
dS1 R2sindd
∴ 1 ER2c o s s i n d d
2
d
2
ER2
sin2
d
0
0
2
R2E cos2 2 20
R2E
(2) 半球面 S1 和任意形状曲面 S2 组成闭合曲面.由高斯定理得:
1 ' 2
1 0
内
qi 0
∵ 此时 S1 的法向方向与原来相反
E2
dS
R 2dl 0
E2
2
rdl
R 2 dl 0
R2 E2 20r
量为 1 q q 3 80 240
17-6 解: (1) 设想地球表面为一均匀带电球面,总面积为 S .则它所带的总电量为
q 0 E dS 0ES 8.851012 200 43.14 6.37106 2
9.02105 C
(2) 从地面1400 m 到地面的大气所带总电量为
q' q总 q 0 E' dS 0 E dS
图 17.3
而 O 点的总场强 E 应沿 x 轴方向,并且
E dEx
dEx
dEsin
dlsin 4 0 R 2
dEx
sin 4 0 R
d
E sin d cos
0 40R
4 0 R
0
2 0 R
E
i
2 0 R
l R dl = Rd
图 17.4
17-4 解: (1) 选半球球心的坐标原点 O d E dS1
2
40r r 40r R2
1 4 0
Q1 r
Q2 R2
(c) r R1 时, Ⅰ区
U1
r
R1 r
E1
dr
R2 R1
E2
dr
R2 E3 dr
R2 Q1 dr Q1 Q2 dr
R1 40r 2
R2 40r 2
Q1 R2 Q1 Q2 40r R1 40r R2
图 17.5
∴
1 2 3 0
∴ q 所在的三个面的电通量为零 以 q 为中心,小正方体的边长 a 的二倍为边长做一正方体.
则通过大正方体的电通量为 q .因为小正方体是大正方体的 1 ,则通过小正方体其它三个
0
8
面的总电通量为 q .由于这三个面对电荷所在顶点是对称的,所以通过它们每个面的电通 8 0
1 4 0
Q1 R1
Q2 R2
17-10 解: (1) 情况(a)可以间接用高斯 定理求解,情况(b)不可以. (2) 这是一个非对称分布的电荷,因而 不能直接用高斯定理求定解.但半径为
R 的球及半径为 r 的空腔是球对称的.
可以利用这一特点把带电体看成半径
为 R 的均匀带电 的球体与半径为
图 17.10
r 的均匀带电 的球体迭加.相当于 在原空腔处补上体电荷密度为 和
的球体.这时空腔内任一点 P 的场强 E E1 E2
其中 E1 与 E2 分别是带 的大球和带 的小球在 P 点的场强. E1 与 E2 都可用高斯定理
求得.
E1 30 r1
OP r1
E2
3 0
∴ 1' 1 R2E
∴ 2 1' R2E
17-5 解: (1) 立方体的六个面组成闭合曲面,由高斯定理得
通过闭合曲面的电通量 q 0
由于正立方体的六个侧面对于其中心对称,所以每个面通过的电通量为
1
2
3
4
5
6
q 6 0
(2) d = E dS E ndS
由于正方体有三个面与 E 垂直
S'
S
0E' S' 0ES
0.10ES' 0ES
0E S 0.1S'
8.11105 C
q'
8.11105
V 4 3.14 6.37143 6.373 1018
3
1.141012 C m2
17-7 解: 根据电荷分布对壁的平分面的面对称性,可知电场分布也
具有这种对称性.由此可选平分面与壁的平分面重合的立方盒子为
2
40
3 2
3
a
q
3q 3Q
4 0 a 2
此合力为零给出
Q
3q 3
∴
Q 3q 3
图 17.2
17-2 解: F mg 0
qE mg 0
q
mg
4 R3g 3
E
E
8 5 1 4 .3 1 4
.
1
646
3
10
.
98
3 1. 9 2 150
8.021019 C
5e
17-3 解: 在带电环线上任取一长为 dl 的电荷元,其电量 dq dl .电荷元在 O 点的场强为 dE , dE 沿两个轴方向 的分量分别为 dEx 和 dEy .由于电荷分布对于 Ox 轴对称, 所以全部电荷在 O 点的场强沿 y 方向的分量之和为零.因
第十七章 真空中的静电场
17-1 解: 设等边三角形的边长为 a ,则由顶点到中心的距离
为
3 3
a
.
q1
q2
q3
q
放在三角形中心的电荷为
Q
,
Q
与 q 反号. Q 受其他三个电荷的合力为零,与 Q 的大小无关.
图 17.1
一个 q 受其他三个电荷的合力大小为
q2
3
qQ
2F1cos30
F3 2 40a2