广东省名校联盟最新高二数学9月联考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}21,3,M a a t t t R ==-+∈，(){}3,2,N b b x x x R ==-∈，则MN =( ) A ．()1,4 B ．()1,4a = C ．(){}1,4 D ．(){}1,4a = 2．下列函数中，在区间02,π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A.2y cox x =-B.sin 2y x =C.tan y x =-D.cos 2y x = 3．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ）A ．②③B ．②④C ．①④D ．①③4．已知下表所表示数据的回归直线方程为ˆ53y x =-，则实数a 的值为（ ）。

A. 16B. 18C. 20D. 225．若斜率都存在的两直线1l ：(2)1ax a y +-=与()2:2(32)2l a x a y -++=互相垂直， 则实数a 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或－1D ．1或-16．总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为A. 43B. 14C.07D. 027．已知函数2()32,[()](2)2x g x x f g x x x =-=≠-，则(5)f -等于（ ） A. 1B. 8-C. 257D. 13 8．设P 是△ABC 所在平面内的一点满足2BC PA BP +=，则（ ）A. 0PA PB +=B. 0PA PC +=C. 0PB PC +=D.0PA PB PC ++=9．函数()1(9)f x x x =-⋅-是区间(5,41)a a +上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．115a ≤≤B ．115a ≤<C ．115a <≤D ．115a << 10．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：从区间内随机抽取400个数，构成200个数对，其中满足不等式的数对共有21个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为A ．2125 B.2225 C ．7825 D ．792511．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增； ③()f x 在[],ππ-有4个零点； ④()f x 的最大值为2。

其中说法错误的是（ ）A ．①②④B ．②③C ．①④D ．①③12．已知函数()()1,0=0,01log ,0akx x f x k a x x +≤⎧≠<<⎨>⎩，则下列关于函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点说法正确的是（ ）。

A ．当0k >时，有4个零点；当0k <时，有2个零点B. 当0k >时，有3个零点；当0k <时，有2个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．求值22sin115sin 25cos 160sin 160=-_______。

14．圆()()22334x y -+-=上到直线346x y +=的距离为1的点的个数为________。

15．一个正四棱锥的五个顶点都在半径为2的球面上，且该四棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该正四棱锥的体积是________。

16．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()24f x x x =-+。

若对于任意的()2,1x a a ∈+都有()3f x <成立，则实数a 的取值范围是________。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）已知非零向量,a b 满足2a b =，()3a b b -⊥。

（1）求向量a 与b 夹角θ的大小；（2）若1b =，求()a b R λλ-∈的最小值及此时λ的值。

18(本题满分12分)某校高二年级开学伊始为了解学生暑期的学习情况,组织一次水平测试，全年级1600位学生都参加了测试。

为了解学生的数学水平，对这次考试成绩进行了抽样分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)估计这次水平测试中数学成绩的平均分和中位数（结果精确到十分位）；(2)估计全年级数学成绩不低于80分的学生人数；(3)在样本中,从数学成绩不低于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率。

19（本题满分12分）已知向量()2cos ,3,2cos ,16a x b x π⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记函数()f x a b =。

（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后所得函数为奇函数，求ϕ的最小值。

20（本题满分12分）已知在直三棱柱ABC A B C '''-中,AB BC ''⊥4,5AB CC BC '===。

其中,E F 分别为,AB BC ''的中点 。

（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）求证：A C AB ''⊥；（3）求直线A B '与平面ABC '所成角的正弦值。

B C'A CA'21（本题满分12分）已知圆22:4O x y +=，直线:1l y kx =+。

直线l 交圆O 于,A B 两点。

（1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）在y 轴正半轴上是否存在定点N ,使得AN 与BN 关于y 轴对称？若存在，求出N 点坐标；若不存在说明理。

22（本题满分12分）已知函数()()()()2ln 2ln 0,2x f x x x a x a g x x =-+->=--。

（1）当34a =时，求函数()y f x =的定义域； （2）当4a >时，求函数()y f x =在(]0,2上的最小值；（3）若对任意()10,2x ∈，存在()20,2x ∈，使()()12f x g x =成立，试求实数a 的取值范围。

2021届高二珠海一中中山纪念中学联考数学卷答案一、选择题1.D2.A3.C4. C5. B6. A7.B 8.D 9.B 10.D 11. B 12.A二、填空题13. ； 14. ； 15. ； 16. .三、解答题17.解：（1）………………………………5分（2）……………………………………10分18.（1）由频率分布直方图知，第五组的频率=1-（0.0052+0.015+0.020+0.045）10=0.10……………………1分所以，估计这次水平测试中数学的平均成绩=0.0545+0.1555+0.4565+0.2075+0.1085+0.0595=68分……………………3分因为前三组的频率之和=0.05+0.15+0.45=0.65 所以0.65-0.50=0.15所以，估计这次水平测试中数学成绩的中位数=70-10…………………………5分（2）因为样本中不低于80分的学生人数比=0.10+0.05=0.15所以，估计全年级数学成绩不低于80分的学生人数=16000.15=240………8分（3）记至少有1名学生的成绩在区间内为事件M.样本中数学成绩不低于80分的学生人数=400.15=6 ，成绩在区间内的人数=400.05=2记这六人人别是A、B、C、D、E、F，其中E、F的成绩在区间内，则基本事件有：AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF共计15个，事件M包含的基本事件有：AE AF BE BF CE CF DE DF EF共计9个所以………………………………12分19.解：（1）由得所以函数的单调递增区间为………………6分（2）函数的图像向左平移个单位后所得函数的解析式为………………………………………………12分20解：（1）分别为的中点。

…………………………………………3分（2）…………………………………………7分（3）过.…………………………………………12分21解：（1）设与交于点。

设………………………………5分（2）假设存在点符合题意，设。

………………………………12分22解：（1）当时，.……………………………………3分（2）…………………………………………7分(3)对任意，存在，使成立…………………………………………12分。