高二（理科）数学（圆锥曲线）同步练习题一、选择题1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是( )A.x 23－y 2＝1，x 29－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1，y 2－x 23＝1 C ．y 2－x 23＝1，x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1，y 23－x 29＝12．椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( ) A ．20 B ．12 C ．10 D ．63．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．84．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 216＋y 220＝1 5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.156、 双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36 7、双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.148．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.y 24－x 24＝1B.x 24－y 24＝1C.y 24－x 29＝1D.x 28－y 24＝1 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.5310、已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 11、方程22)1()1(-+-=+y x y x 所表示的曲线是（ ）A ． 双曲线B ． 抛物线C ． 椭圆D ．不能确定12、给出下列结论,其中正确的是（ ）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a by 的双曲线的标准方程一定是12222=-by a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=x C ．等轴双曲线的离心率是2 D ．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---二、填空题13．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.15．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值围是________．16．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________． 三、解答题17、已知椭圆8x 281＋y236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．18、已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．19、已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．20、已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使PQ =λAB ？21、已知定点(1,0)F ，动点P （异于原点）在y 轴上运动，连接PF ，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PN PM =.（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值围．高二数学圆锥曲线基础练习题（含答案）一、选择题1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是( )A.x 23－y 2＝1，x 29－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1，y 2－x 23＝1 C ．y 2－x 23＝1，x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1，y 23－x 29＝1解析：选A.B 中渐近线相同但e 不同；C 中e 相同，渐近线不同；D 中e 不同，渐近线相同．故选A.2．椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．12C ．10D ．6解析：选A.∵AB 过F 1，∴由椭圆定义知⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20.3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D.焦距为4，则m －2－(10－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422，∴m ＝8.4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.5、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0. ∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A.椭圆4x 2＋y 2＝64即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b 2＝12，所以双曲线方程为y 2－3x 2＝36.7．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.8．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.y 24－x 24＝1B.x 24－y 24＝1C.y 24－x 29＝1D.x 28－y 24＝1 解析：选A.2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c ， ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)， ∴(a －b )2＝0，即a ＝b . ∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.53解析：选D.依题意，2a ＋2c ＝2·2b ， ∴a 2＋2ac ＋c 2＝4(c 2－a 2)，即3c 2－2ac －5a 2＝0，∴3e 2－2e －5＝0，∴e ＝53或e ＝－1(舍)．10．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选B.准线方程为x ＝－p ，∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的距离为2p ＝4. 11、方程22)1()1(-+-=+y x y x 所表示的曲线是 （ A ）A ． 双曲线B ． 抛物线C ． 椭圆D ．不能确定12、给出下列结论,其中正确的是（ C ）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a by 的双曲线的标准方程一定是12222=-by a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=x C ．等轴双曲线的离心率是2 D ．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---二、填空题13．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 解析：∵2a ＝8，∴a ＝4， ∵2c ＝215，∴c ＝15，∴b 2＝1. 即椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.解析：由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.所以，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.15．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.16．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________． 解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求距离为3－1＝2. 三、解答题17．已知椭圆8x 281＋y236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.18．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝－4＋52＋32＋－4－52＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.19．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解：(1)由已知得|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ， ∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 120°， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|PF 1||PF 2|， ∴4＝(2a )2－|PF 1||PF 2|＝16－|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝12，∴＝12|PF 1||PF 2|sin120°＝12×12×32＝3 3.12F PF S20已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且AC ·BC =0，|BC |=2|AC |，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则是否存在实数λ,使PQ =λAB ？ 解（1）以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系则A （2，0），设所求椭圆的方程为：224b y x 2+=1(0<b <2), 由椭圆的对称性知|OC |=|OB |,由AC ·BC =0得AC ⊥BC ， ∵|BC |=2|AC |，∴|OC |=|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴C 的坐标为（1，1）， ∵C 点在椭圆上∴22141b +=1,∴b 2=34,所求的椭圆方程为43422y x +=1 ……………5分 （2）由于∠PCQ 的平分线垂直OA （即垂直于x 轴），不妨设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为-k ，直线PC 的方程为：y =k (x -1)+1,直线QC 的方程为y =-k (x -1)+1,由⎩⎨⎧=-++-=0431)1(22y x x k y 得：(1+3k 2)x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0（*） ……………8分 ∵点C （1，1）在椭圆上，∴x =1是方程（*）的一个根，则其另一根为2231163k k k +--,设P（x P ,y P ）,Q (x Q ,y Q ),x P =2231163k k k +--, 同理x Q =2231163k k k +-+,k PQ =3131163311632)3116331163(2)(22222222=+-+-+---+-+++--⋅=--+=--k k k k k k k k k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P ………10分而由对称性知B (-1,-1),又A （2，0） ∴k AB =31∴k PQ =k AB ，∴与共线，且≠0,即存在实数λ，使=λ. ……12分21．已知定点(1,0)F ，动点P （异于原点）在y 轴上运动，连接PF ，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PN PM =.（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值围．21．解 (1)设动点N 的的坐标为(,)N x y ，则(,0),(0,),(0)2yM x P x ->， (,),(1,)22y y PM x PF =--=-，由0PM PF ⋅=得，204y x -+=， 因此，动点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>. …………5分(2)设直线l 的方程为y kx b =+，l 与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y ，则由4OA OB ⋅=-，得12124x x y y +=-，又2211224,4y x y x ==，故128y y =-.又224440(0)y x ky y b k y kx b⎧=⇒-+=≠⎨=+⎩， ∴216(12)048k b k⎧∆=+>⎪⎨=-⎪⎩，2222116||(32)k AB k k +∴=+，∴||AB ≤≤22211696(32)480k k k +≤+≤ 解得直线l 的斜率k 的取值围是11[1,][,1]22--. ……………………12分。