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【典型题】数学高考第一次模拟试题(带答案)
10.若双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为()
A.y=±2xB.y= C. D.
11.在 中, 为锐角, ,则 为()
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
12.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
A.对立事件B.互斥但不对立事件
17.在 中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 , ,b=1,则 _____________
18.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若 ,则 =___________.
19.已知正三棱锥 的底面边长为3,外接球的表面积为 ,则正三棱锥 的体积为________.
10.B
解析:B
【解析】
双曲线的离心率为 ,渐进性方程为 ,计算得 ,故渐进性方程为 .
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
11.D
解析:D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析:由 ,所以 且 ,又因为 为锐角,所以 ,由 ,根据正弦定理,得 ,解得 ,所以三角形为等腰直角三角形,故选D.
很容易地观察出 ,即 .
故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数线的应用,其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线,合理作出图象是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题.
4.A
解析:A
【解析】
【分析】
依据题意作出图象,由双曲线定义可得 ,又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切,可得 ,对 在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程,即可求得 ,联立 ,即可求得 ,问题得解.
综上所述,ω=2、φ .
故选A.
【点睛】
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题,是基础题.
9.A
解析:A
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可.
【详解】
由斜二测画法规则知 ,即 直角三角形,其中 , ,所以 ,所以 边上的中线的长度为 .
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.
14.【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为:设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴(即
解析:
【解析】
设 ,则 ,所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出斜率,其求法为:设 是曲线 上的一点,则以 为切点的切线方程是 .若曲线 在点 处的切线平行于 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为 .
考点:函数图像.
7.D
解析:D
【解析】
【分析】
设目前该教师的退休金为x元,利用条形图和折线图列出方程,求出结果即可.
【详解】
设目前该教师的退休金为x元,则由题意得:6000×15%﹣x×10%=100.解得x=8000.
故选D.
【点睛】
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题,属于基础题.
8.A
16.【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主
解析:
【解析】
【分析】
由 , ,利用正弦定理求得 .,再由余弦定理可得 ,利用基本不等式可得 ,从而利用三角形面积公式可得结果.
所以 .
【考点】同角三角函数,诱导公式,两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含:若 与 的终边关于 轴对称,则 ,若 与 的终边关于 轴对称,则 ,若 与 的终边关于原点对称,则 .
19.或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径
【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边,属于中档题.
18.【解析】试题分析:因为和关于轴对称所以那么(或)所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含:若与的终边关于轴对称则若与的终边
解析:
【解析】
试题分析:因为 和 关于 轴对称,所以 ,那么 , (或 ),
考点:三角形形状的判定.
12.B
解析:B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件,然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件,最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件,最后即可得出结果.,
【详解】
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生,所以它们是互斥事件,
20.已知 , 均为锐角, , ,则 _____.
三、解答题
21.已知 .
(1)若 ,讨论函数 的单调性;
(2)当 时,若不等式 在 上恒成立,求 的取值范围.
22.如图,在几何体 中,平面 底面ABC,四边形 是正方形, ,Q是 的中点,
(I)求证: 平面
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
23.设函数 (Ⅰ)求 单调区间(Ⅱ)求所有实数 ,使 对 恒成立
解析:8
【解析】
试题分析:函数 在 处的导数为 ,所以切线方程为 ;曲线 的导函数的为 ,因 与该曲线相切,可令 ,当 时,曲线为直线,与直线 平行,不符合题意;当 时,代入曲线方程可求得切点 ,代入切线方程即可求得 .
考点:导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点的切线,可先求得曲线在该点的导函数值,也即该点切线的斜率值,再由点斜式得到切线的方程,当已知切线方程而求函数中的参数时,可先求得函数的导函数,令导函数的值等于切线的斜率,这样便能确定切点的横坐标,再将横坐标代入曲线(切线)得到纵坐标得到切点坐标,并代入切线(曲线)方程便可求得参数.
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件,所以它们不是对立事件,所以它们是互斥但不对立事件,故选B.
【点睛】
本题考查了事件的关系,互斥事件是指不可能同时发生的事件,而对立事件是指概率之和为1的互斥事件,不可能事件是指不可能发生的事件,考查推理能力,是简单题.
二、填空题
13.8【解析】试题分析:函数在处的导数为所以切线方程为;曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意;当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点:导函数的运用【方法点睛】
【详解】
展开式的通项公式为: ,化简得 ,令 ,即 ,故展开式中的常数项为 .
故选:C.
【点睛】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用,熟练运用公式来解题是关键.
3.C
解析:C
【解析】
【分析】
分别作出角 的正弦线、余弦线和正切线,结合图象,即可求解.
【详解】
如图所示,在单位圆中分别作出 的正弦线 、余弦线 、正切线 ,
【详解】
因为 ,又 ,
所以 ,又 为锐角,可得 .
因为 ,
所以 ,
当且仅当 时等号成立,
即 ,
即当 时, 面积的最大值为 . 故答案为 .
【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1) ;(2) ,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住 等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
15.【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解:抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A点坐标为因
解析:
【解析】
【分析】
由直线方程为 与准线 得出点 坐标,再由 可得,点 为线段 的中点,由此求出点A的坐标,代入抛物线方程得出 的值.
解析:A
【解析】
【分析】
由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象,求得T、ω和φ的值.
【详解】
由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象知,
( ) ,
∴T π,解得ω=2;
又由函数f(x)的图象经过( ,2),
∴2=2sin(2 φ),
∴ φ=2kπ ,k∈Z,
即φ=2kπ ,
又由 φ ,则φ ;
求二面角 的余弦值.
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一、选择题
1.D
解析:D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析:A项中两直线 还可能相交或异面,错误;
C项两平面 还可能是相交平面,错误;
故选D.
2.C
解析:C
【解析】
【分析】
先求出展开式的通项,然后求出常数项的值
注: 为自然对数的底数
24.已知函数 ,过曲线 上的点 处的切线方程为 .
(1)若函数 在 处有极值,求 的解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数 在区间 上的最大值.
25.如图,在边长为4的正方形 中,点 分别是 的中点,点 在 上,且 ,将 分别沿 折叠,使 点重合于点 ,如图所示 .
试判断 与平面 的位置关系,并给出证明;
C.不可能事件D.以上都不对
二、填空题
13.已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切,则a=.