【市级联考】山西省晋中市2020-2021学年高二上学期期末调研测试数学（文）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若曲线22x y 12k 2k+=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k 2>B ．k 2<-C ．2k 2-<<D ．2k 0-<<或0k 2<<2．下列说法错误的是( ) A ．棱柱的侧面都是平行四边形B ．所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形D ．将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥3．已知直线1l 的方程为()2x 5m y 8++=，直线2l 的方程为()3m x 4y 53m ++=-，若12l //l ，则m (= ) A ．1-或7-B ．1-C ．7-D ．3-4．已知圆221:44410O x y x y +-+-=，圆222:(1)(2)4O x y ++-=，则两圆的位置关系为（ ）． A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切5．实数x ，y 满足x 2y 40x 2x y 80-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y 1x 1+-的最小值是( )A ．7B ．4C ．53D ．236．某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A ．三棱柱B ．三棱锥C ．四棱柱D ．四棱锥7．下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题；②“∀a∈（0，+∞），函数y=x a 在定义域内单调递增”的否定； ③l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；④“∀x∈R，2x ≥0”的否定为“∃0x ∉R ，20x ＜0”．A ．1B ．2C ．3D ．48． 函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．9．已知1F ，2F 是双曲线22x y 1169-=的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是1PF 的中点，若OM 1=，则1PF 是( ) A ．10B ．8C ．6D ．410．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A ．16B C ．13D ．311．对于直线m ，n 和平面α，β，则α//β的一个充分条件是( ) A ．.m α⊂，n β⊂，m //β，n //αB ．m //n ，m //α，n //βC ．m //n ，m α⊥，n β⊥D ．m n ⊥，m α⊥，n β⊥12．已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1- B ．16 C ．1D ．与b 有关二、填空题 13．已知()xf x x 1=-，则()0f '=_________. 14．已知命题“[]x 1,2∀∈，2x 2ax 10-+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______． 15．已知直线x y 40--=与椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>交于A ，B 两点，且A ，B 中点的横坐标为3，则椭圆的离心率为______．16y 10-+=的倾斜角为______．三、解答题17．已知p ：22x 4ax 3a 0(a 0)-+<>，q ：81x 1<-，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18．已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>过点(M 4,.-()1求抛物线C 的方程；()2设F 为抛物线C 的焦点，直线l ：y 2x 8=-与抛物线C 交于A ，B 两点，求FAB的面积．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，E 是PC 的中点，底面ABCD 为矩形，AB 2=，AD 4=，PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F ．()1求证：EF //AB ； ()2求三棱锥P AEF -的体积．20．已知动点M 到点()A 2,0-与点()B 1,0的距离之比等于2，记动点M 的轨迹为曲线C ．()1求曲线C 的方程；()2过点()P 4,4-作曲线C 的切线，求切线方程．21．已知函数()()()2f x ax 2a 1x lnx a R =+--∈．()1当a 1=时，求()f x 在x 1=处的切线方程； ()2讨论()f x 的单调性．22．已知椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的右焦点为()F 2,0，且过点(.()1求椭圆的标准方程；()2设直线l ：y kx(k 0)=>与椭圆在第一象限的交点为M ，过点F 且斜率为1-的直线与l 交于点N ，若FMN 与FON 的面积之比为3：2(O 为坐标原点)，求k 的值．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得k 的取值范围． 【详解】由题设可得202022k k k k ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得22,0k k -<<≠，故选D ．【点睛】对于曲线221x y m n+=，（1）如果该曲线为椭圆，则0,0,m n m n >>≠，更一步地，如果表示焦点在x 轴上的椭圆，则有0m n >>；如果表示焦点在y 的椭圆，则0n m >>；（2）如果该曲线为双曲线，则0mn <，更一步地，如果表示焦点在x 轴上的双曲线，则有0,0m n ><；如果表示焦点在y 的双曲线，则0,0n m ><．2．B 【分析】由棱柱的性质可判断A ；可举正八面体可判断B ；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C ；由圆锥的定义可判断D ． 【详解】由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A 正确；所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B 错误；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C 正确； 由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D 正确． 故选B ． 【点睛】本题考查空间几何的性质，属于基本题．3．C 【解析】 【分析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得m 的值后检验即可得到m 的值． 【详解】 因为12l l ，故()()2453m m ⨯=++，整理得到2870m m ++=，解得1m =-或7m =-．当1m =-时，1:240l x y +-=，2:240l x y +-=，两直线重合，舎； 当7m =-时，1:40l x y --=，213:02l x y -+=，两直线平行，符合； 故7m =-，选C ． 【点睛】如果1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， （1）12,l l 平行或重合等价于1221A B A B =； （2）12,l l 垂直等价于12120A A B B +=． 4．D 【解析】由于圆221:44410O x y x y +-+-=，即22(2)(2)49x y -++=，表示以1(2,2)C -为圆心， 半径等于7的圆．圆222:(1)(2)4O x y ++-=，表示以2(1,2)C -为圆心，半径等于2的圆．572==-． 故两个圆相内切． 故选D ． 5．C 【分析】由约束条件作出可行域，由11y z x +=-的几何意义可知，z 为可行域内的动点(),P x y 与定点()1,1M -连线的斜率，由数形结合求得最小值即可． 【详解】可行域如图所示，11y z x +=-的几何意义为可行域内的动点(),P x y 与定点()1,1M -连线的斜率，由图形可得()4,4A ，故min 415413AM z k +===-，故选C ． 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 6．D 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥． 【详解】根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示；故选D ． 【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，属于基础题． 7．A 【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；利用指数函数的单调性判断②的正误；直线与平面垂直关系判断③的正误；根据全称命题的否定的写法判断④的正误； 【详解】①若“p∨q”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，判断为“p∧q”有可能是假命题，不正确；②“∀a ∈（0，+∞），函数y=a x 在定义域内单调递增”的否定：“∃a ∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内不是单调递增的”；例如a=12，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内单调递减；所以②正确；③l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；也可能l⊂α，所以③不正确；④“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定的正确写法为“0x R ∃∈，使得20x ＜0”．故选项不满足命题的否定形式，所以④不正确； 只有②是真命题； 故选A ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，命题的否定直线与平面的位置关系的应用，是基本知识的考查． 8．D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．9．A 【解析】 【分析】利用三角形中位线性质，求出22PF =，利用双曲线定义，求出1PF ． 【详解】因为M 是1PF 的中点，O 是12F F 的中点， 所以212OM PF =，因为1OM =，所以22PF =， 因为P 在右支上，故12248PF PF -=⨯=，故18210PF =+=，故选A ． 【点睛】一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.圆锥曲线的几何性质包括第一定义和第二定义，前者可将与一个焦点有关的问题转化为与另一个焦点相关的数学问题，后者可将数学问题转化与相应准线的距离问题． 10．B 【解析】试题分析：如图，取AD 中点F ，连接,EF CF ，因为E 是AB 中点，则//EF BD ，CEF ∠或其补角就是异面直线,CE BD 所成的角，设正四面体棱长为1，则CE CF ==12EF =，11cos CEF ⨯∠==B ．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段． 11．C 【解析】 【分析】A ，B ，D 三个选项下的,αβ相交时，也满足每个选项的条件，所以由A ，B ，D 中的条件得不出αβ∥，而选项C 可以得到平面,αβ同时和一条直线垂直，所以αβ∥，所以C 中的条件是αβ∥的充分条件． 【详解】A 这种情况下，,αβ可能相交，让,m n 都和交线平行即可；B 这种情况下，,αβ可能相交，让,m n 都和交线平行即可；C 因为,,m n m n αα⊥∴⊥，又n β⊥，因同时和一直线垂直的两平面平行，故αβ∥； D.如果αβ⊥，也存在m n ⊥，且,m n αβ⊥⊥． 故选：C ． 【点睛】面面平行的判定可以由线面平行得到，但两条直线必须是一个平面中的两条相交直线．如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面是平行的． 12．B 【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -． 【详解】()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->， 又2132x x =，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =． 此时122,3x x ==， ()3215632f x x x x b =-++， 故()()()()()1215182749623326f x f x -=⨯---+-= 故选B ．【点睛】如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．13．1-【分析】先求导，再代值计算．【详解】()1111x f x x x ==+--，所以()()21'1f x x =--，故()()21'0101f =-=--， 故答案为1-．【点睛】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．14．(),1∞-【解析】【分析】利用参数分离法和基本不等式可得实数a 的取值范围．【详解】因为命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+> ”是真命题，则12a x x <+在[]1,2上恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x =等号成立， 故22a <即1a <，故答案为(),1-∞．【点睛】含参数的一元二次不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题，也可以讨论不等式对应的二次函数的最值.15【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出12x x +，即可求解椭圆的离心率．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，由22222240x y b x a y a b--=⎧⎨+=⎩，得()22222228160a b x a x a a b +-+-=， 所以2122286a x x a b+==+，223a b ，也即是2223a c =，椭圆的离心率e ==3． 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某些变量的方程，解此类方程即可得所求关系．16．3π【解析】【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y =+，故tan θ=又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为：3π． 【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk ，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．17．10a 3<≤或a 9≥ 【分析】根据不等式的解法求出,p q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即可．【详解】由()224300x ax a a -+<>， 得()30a x a a <<>，由811x <-得8101x -<-，即901x x -<-， 也就是:1q x <或者9x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以(),3a a 是()(),19,-∞+∞的真子集，所以031a <≤或9a ≥，解得103a <≤或9a ≥ 所以a 的取值范围是103a <≤或9a ≥． 【点睛】 （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．18．（1）2y 8x =；（2）12【解析】【分析】（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>：过点(4,M -，所以(2832p -==，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．（2）由抛物线的方程可知()2,0F ，直线:28l y x =-与x 轴交于点()4,0P ， 联立直线与抛物线方程2288y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 可得24320y y --=， 所以128,4y y ==-，所以12112121222FAB S PF y y ∆=⨯-=⨯⨯=， 所以FAB ∆的面积为12．【点睛】直线0Ax By C ++=与抛物线22y px =的位置关系，可通过联立直线方程和抛物线方程消去y （或x ）得到关于x （或y ）的方程20ax bx c ++=，再利用韦达定理简化目标代数式，也可以直接求出相应的根，再考虑与交点有关的数学问题．19．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先利用线面平行的判定定理得AB 平行平面PCD ，再用线面平行的性质定理得,AB EF 平行；（2）通过转换顶点把问题转化为求C PAD -的体积，求解就容易了．【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊄面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AB ∴平面PCD ，又AB 平面ABE ，平面PCD平面ABE EF =，AB EF ∴； （2）由（1）可知EF CD ∥，E 为PC 中点，F ∴为PD 中点，连接,AF AE ，平面PAD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，AD CD ⊥，DC ∴⊥平面PAD ，11112443P AEF E PAF C PAF C PAD PAD V V V V S CD ----∆∴====⨯⨯=． 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.20．（1）22(x 2)y 4-+=；（2）x 40-=或3x 4y 40++=【分析】（1）设点M 的坐标为(),x y ，根据距离公式列等式，化简即可得出曲线C 的方程；（2）对切线斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于2可得出切线的方程．【详解】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，则MA MB ==2=，化简得()2224x y -+=， 因此，动点M 的轨迹方程为()2224x y -+=；（2）当过点P 的直线无斜率时，直线方程为40x -=，圆心()2,0C 到直线40x -=的距离等于2，此时直线40x -=与曲线C 相切；当切线有斜率时，不妨设斜率为k ，则切线方程为()44y k x +=-，即440kx yk ---=， 2=，解得34k =-． 所以，切线方程为3440x y ++=．综上所述，切线方程为40x -=或3440x y ++=．【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆； （2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．21．（1）2x y 0-=；（2）见解析【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围及相应的导数的符号，求出函数的单调区间即可；【详解】（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-， ()1'21f x x x=+-，()'12k f ==，又()12f =， 故切线方程为()221y x -=-，即20x y -=．（2）函数的定义域是()0,∞+，()()()()2111'221ax x f x ax a x x-+=+--=， 当0a ≤时，()'0f x < ，故()f x 在()0,∞+为减函数；当0a >时，若10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'0f x <；若1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()'0f x >， 故()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数；在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数． 综上，0a ≤时，()f x 在()0,∞+为减函数；0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数；在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数． 【点睛】 一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．22．（1）22x y 11612+=；（2）3k 2=或9k 26= 【解析】【分析】（1）根据题意列出有关22,a b 的方程组，求出这两个数的值，即可求出椭圆的标准方程；（2）设点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标()22,x y ，利用已知条件可得2125y y =，然后将直线l 的方程分别与椭圆方程和直线NF 的方程联立，求出点,M N 的坐标，结合条件可求出k 的值．【详解】（1）由题意可知222241231a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2216,12a b ==（负值舍去），所以椭圆的标准方程为2211612x y +=． （2）设点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标()22,x y ，由题可知120y y >>， FMN ∆与FON ∆的面积之比为3：2，FON ∴∆与FOM ∴∆的面积之比为2：5， 也即2125y y = ． 由223448y kx x y =⎧⎨+=⎩，消去x，可得1y = 易知直线NF 的方程为20x y +-=，由20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，消去x ，可得221k y k =+，5221k k =⨯+，整理得25296270k k -+=，解得32k 或926k =． 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以联立直线方程与椭圆方程，求出一些关键的点，再利用这些关键点之间的关系构建目标变量的方程.。