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陕西省西安电子科技大学附中2019-2020年高一上学期期中考试 数学(含解析)

陕西省西安电子科技大学附中2019-2020年高一上学期期中考试数学一、选择题(每小题4分,共48分)1.已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =,集合{}0,1,3,5,8A =,集合{}2,4,5,6,8B =,则()()U U C A C B ⋂=( )A. {}5,8B. {}7,9C. {}0,1,3D. {}2,4,6【答案】B 【解析】 试题分析:{}2,4,6,7,9UA =,{}0,1,3,7,9UB =,所以()(){}7,9U U A B ⋂=,故选B.考点:集合的运算.【此处有视频,请去附件查看】2.已知{1,2,3,4}A =,{}1,2B a a =+,若{4}A B ⋂=,则a =( ) A. 3 B. 2C. 3或2D. 3或1【答案】A 【解析】【详解】由题,{}1,2,3,4A =,{}1,2B a a =+,且{}4A B ⋂=, 当14,3,26a a a +=== ,符合题意;当24,2,13a a a ==+= ,此时{}34A B ⋂=,,不符合题意.故 3.a = 故选A. 3.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是( )A. (1,)-+∞B. [1,)-+∞C. (1,1)(1,)-+∞D. [1,1)(1,)-⋃+∞【答案】C【解析】试题分析:分母不等于零,对数真数大于零,所以10{10x x +>-≠,解得(1,1)(1,)x ∈-⋃+∞.考点:定义域.4.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数,所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-,故选A. 5.已知集合A ={x |x 2-2x >0},B ={x |-5<x <5},则( ). A. A ∩B =B. A ∪B =RC. B ⊆AD. A ⊆B【答案】B 【解析】【详解】依题意{}|02A x x x =或, 又因为B ={x |5x 5, 由数轴可知A ∪B =R ,故选B. 【此处有视频,请去附件查看】6.设1,01,()0,0,()0,1,0x x f x x g x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩为有理数为为无理数,则f(g(π))的值为( ) A. 1 B. 0C. -1D. π【答案】B 【解析】 【详解】()0g π=,(())(0)0f g f π∴==,故选B.【此处有视频,请去附件查看】7.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 ( ) A. 1y x =+ B. y x x =C. 1y x=D. 3y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义先判断出奇偶性,然后根据单调性定义判断单调性即可. 【详解】A.非奇非偶函数;B.奇函数且是单调递增函数; C.奇函数但在定义域上不是增函数;D. 奇函数,单调递减函数; 故选B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性,结合初等函数的奇偶性和单调性判断出原函数的性质,主要考查了推理能力.8.已知函数f (x )=2,0{1,0x x x x >+≤,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于( )A. -3B. 1C. 3D. -1【答案】A 【解析】 【分析】先求得f (1)=2,再由f (a )=-2,即有a +1=-2,从而可得结果.【详解】由函数f (x )=2,0{1,0x x x x >+≤,可得f (1)=2,且x >0时,f (x )>1,则f (a )+f (1)=0,即f (a )=−2, 则a ⩽0,可得a +1=-2, 解得a =-3. 故选:A.【点睛】对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高,因此解决这类题一定要层次清楚,思路清晰. 9.已知 1.22a =,0.81()2b -=,52log 2c =,则a, b, c 的大小关系为( )A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【详解】试题分析:因为0.80.81()22b -==,所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=,552log 2log 41c ==<,因此c b a <<,故选A.考点:1、指数函数的性质;2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题,属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质,所以也是常常是命题的热点,对于这类问题,解答步骤如下:(1)分组,先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组;(2)比较,每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小;(3)整理,将各个数按顺序排列. 【此处有视频,请去附件查看】10.已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --<0成立,则实数a的取值范围为( ) A. (-∞,2) B. 13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (-∞,2]D. 13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【详解】试题分析:由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B.考点:分段函数的单调性.【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的取值范围是( )A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【答案】C 【解析】试题分析:函数是定义在上的偶函数,∴,等价为),即.∵函数是定义在上的偶函数,且在区间单调递增,∴)等价为.即,∴,解得,故选项为C .考点:(1)函数的奇偶性与单调性;(2)对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系,综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得:,即,结合单调性得:将不等式进行等价转化即可得到结论.【此处有视频,请去附件查看】12.若不等式2(1)log a x x -<(0a >且1a ≠)在()1,2x ∈内恒成立,则实数a 的取值范围为( )A. (]1,2B. 22⎛⎫⎪⎪⎝⎭C. (2D.)2,【答案】A 【解析】 【分析】函数2(1)y x =-在()1,2的图象在log ay x =的图象的下方,结合函数的图象,可求得a 的取值范围.【详解】由题意,函数2(1)y x =-在()1,2的图象在log ay x =的图象的下方,若01a <<,则log 0a x <在()1,2上恒成立,显然不符合题意,故1a >. 作出函数的图象,如下图,则()2log 221a ≥-,解得12a <≤. 故选:A.【点睛】本题考查函数图象性质的应用,考查了不等式恒成立问题,数形结合的方法是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题(每小题4分,共16分)13.函数()212log 32y x x =-+的单调递增区间为__________.【答案】(),1-∞ 【解析】 【分析】先求得函数的定义域,然后根据复合函数同增异减求得函数的单调递增区间. 【详解】由2320x x -+>解得1x <或2x >,由于12log y x =在其定义域上递减,而232y x x =-+在1x <时递减,故()212log 32y x x =-+的单调递增区间为(),1-∞. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调区间的求法,考查对数函数定义域的求法,属于基础题. 14.若2510a b ==,则11a b+=________. 【答案】1 【解析】 【分析】将指数式化为对数式,再取倒数相加即得. 【详解】∵2a =5b =10,∴a =log 2 10,b =log 5 10,∴1a =lg 2,1b =lg 5 ∴11a b+=lg 2+lg 5=lg (2×5)=1, 故答案为1.【点睛】本题考查了对数的运算性质.属基础题.15.已知函数f(x)=()14214xx f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+<⎩,,,则f(2+log 23)=________.【答案】124【解析】由3<2+log 23<4,得3+log 23>4,所以f(2+log 23)=f(3+log 23)=2233241112224log log +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==16.集合{}||21|xM x m =-=有4个子集,则m 的取值范围为________. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】由集合M 有4个子集,可得M 有2个元素,即函数|1|2xy =-与y m =的图象有2个交点,结合函数图象,可求出m 的取值范围.【详解】因为集合M 有4个子集,所以集合M 有2个元素, 故函数|1|2xy =-与y m =的图象有2个交点,作出函数|1|2xy =-的图象,如下图,0x ≥时,[)|21|0,x y =-∈+∞,0x <时,()|21|0,1xy =-∈.故01m <<时,函数|1|2xy =-与y m =的图象有2个交点.故答案为:()0,1.【点睛】本题考查集合的元素个数与子集个数的关系,考查了函数的图象交点问题,利用数形结合的方法是解决本题的关键,属于中档题.三、解答题(17、18题10分,19、20、21题12分.) 17.(1)计算:112307272(lg 5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)计算:83151g 1g lg12.5log 9log 428-+-⋅ 【答案】(1)4 ;(2)13.【解析】 【分析】(1)结合指数幂的运算法则,可求出答案; (2)结合对数的运算法则,可求出答案. 【详解】(1)112307272(lg 5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11233123495-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫=⎪⎦++ ⎝⎭54133=++4=. (2)83151g 1g lg12.5log 9log 428-+-⋅()23182521g log 32l 2og 2523⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2341g10log l 33g 2o ⋅=-41133=-=-. 【点睛】本题考查了指数幂与对数式的运算,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 18.设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. (1)求a 的值及()f x 的定义域;(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】(1)2a =,定义域()1,3-;(2)2 【解析】 【分析】(1)由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域; (2)先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】(1)()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x ,故()f x 的定义域为()1,3-.(2)函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19.已知二次函数()223f x x ax =++.(1)若()f x 在[]1,1-上单调,求a 的取值范围; (2)求()f x 在[]1,1-上最小值.【答案】(1)4a ≤-或4a ≥;(2)当4a ≤-时,()min 5f x a =+;当4a ≥时,()min 5f x a =-;当44a -<<时,()min238f x a =-【解析】 【分析】(1)结合二次函数的性质,讨论对称轴与区间[]1,1-的关系,可求得函数()f x 的单调性; (2)先讨论()f x 的单调性,进而可求得()f x 在[]1,1-上最小值. 【详解】(1)二次函数()223f x x ax =++的对称轴为4ax =-,开口向上, 若()f x 在[]1,1-上单调递减,则14a-≥,即4a ≤-; 若()f x 在[]1,1-上单调递增,则14a-≤-,即4a ≥. 即()f x 在[]1,1-上单调,则a 的取值范围是4a ≤-或4a ≥.(2)由(1)知,若4a ≤-,()f x 在[]1,1-上单调递减,则()()min 15f x f a ==+;若4a ≥,()f x 在[]1,1-上单调递增,则()()min 15f x f a =-=-;若114a-<-<,即44a -<<,则()22min3344428f x f a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+-+=- ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故当4a ≤-时,()min 5f x a =+;当4a ≥时,()min 5f x a =-;当44a -<<时,()min238f x a =-.【点睛】本题考查了二次函数的单调性与最值,考查了分类讨论的数学思想在解题中的应用,属于基础题.20.已知函数()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.(1)求实数m值;(2)若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)2m =;(2)13a【解析】 【分析】(1)利用奇函数的定义,由0x >时的解析式得0x <时,()()f x f x =--对应的解析式,即求出实数m的值;(2)由(1)知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增,所以121a -<-≤,得实数的取值范围.【详解】(1)设0x <,则0x ->,22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---+-=+,所以2m =.(2)由()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩,知()f x 在区间[1,1]-上单调递增,所以121a -<-≤,解得13a .【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性,属于基础题.21.已知二次函数()()210f x ax bx a =++>,若()10f -=,且对任意实数x 均有()0f x ≥成立.(1)求()f x 的表达式;(2)当[]2,2x ∈-时,令()()g x f x kx =-,若()0g x ≤恒成立,求k的取值范围.【答案】(1)()221f x x x =++;(2)不存在 【解析】【分析】(1)对任意实数x 均有()0f x ≥成立,且0a >,可得240b a ∆=-=,再结合()10f -=,可求出,a b 的值,即可求得()f x 的表达式;(2)先求出()g x 的表达式,再由()0g x ≤在[]2,2x ∈-恒成立,可得()()2020g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩,即可求出答案. 【详解】(1)由题意,()101a b f -+==-,因为210ax bx ++≥恒成立,且0a >,所以240b a ∆=-=,联立21040a b b a -+=⎧⎨-=⎩,解得1,2a b ==. 故()221f x x x =++.(2)由题意,()()221g x x k x =+-+,因为[]2,2x ∈-时,()0g x ≤恒成立,所以()()()()()22222210222210g k g k ⎧-=---+≤⎪⎨=+-+≤⎪⎩,即1292k k ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,显然无解,故k 不存在.【点睛】本题考查了二次函数的解析式,考查了二次函数的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.。

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