期中测试卷作者：黄丽芳说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在直线 A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面解析：当直尺与地面相交时，A 不成立；当直尺与地面平行时，C 不成立；当直尺在地面内时，D 不成立.答案：B2.设不同直线m 、n 和不同平面α、β,给出下列四个命题:①⇒⎭⎬⎫⊂αβαm //m ∥β;②⇒⎭⎬⎫β////m n m n ∥β;③⇒⎭⎬⎫⊂⊂βαn m m 、n 异面;④⇒⎭⎬⎫⊥αβα//m m ⊥β.其中假命题有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:①正确;②错误,因为n 可能在β内;③错误,因为m 、n 可能平行;④错误,因为m 可能平行于β.答案：B3.一个简单多面体共有12个面和8个顶点,其中两个顶点处各有6条棱,其他顶点处各有相同数目的棱,则其他顶点各有__________条棱A.4B.5C.6D.7解析:F =12,V =8,E =V +F －2=18.设其他顶点各有x 条棱,则有E =2662x+⨯,解得x =4. 答案:A4.已知a =（1－t ,1－t ,t ),b =(2,t ,t ),则|b －a |的最小值是 A.55 B.555 C.553 D.511 解析：b －a =（2,t ,t )－(1－t ,1－t ,t )=(1+t ,2t －1,0), ∴|b －a |=22)12()1(-++t t =2252+-t t ≥553. 答案：C5.设a 、b 是平面α外的任意两条线段，则“a 、b 的长相等”是“a 、b 在平面α内的射影长相等”的A.非充分也非必要条件B.充要条件C.必要而非充分条件D.充分而非必要条件解析：从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，条件不足，结论就不正确.在这里，a 、b 长相等，它们的射影不一定相等；a 、b 射影相等，a 、b 长也不一定相等.答案：A6.a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下列4种情况，可能的情况种数有①b ∥α ②b ⊥α ③α∥β ④α⊥β A.1 B.2 C.3 D.4解析：观察如下两个图，由图（1）可知，b ∥α可能，α∥β亦可能.由图（2）可知 α⊥β可能，但若b ⊥α,则b ⊥a 与已知条件矛盾.故b ⊥α不可能.αβbaαβba(1) (2)答案：C7.设P 是60°的二面角α－l －β内一点,P A ⊥平面α,PB ⊥平面β,垂足分别为A 、B ,P A =4,PB =2,则AB 的长是A.23B.25C.27D.42解析:由已知条件易得∠APB =120°,∴|AB |=72120cos ||||2||||22=︒-+•PB PA PB PA . 答案:C8.已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB =AC =BC =23，则球心到平面ABC 的距离为A.1B.2C.3D.2解析：如图所示，设该球的半径为R ，S 表=4πR 2＝20π,∴R =5.在△ABC 中,AB =BC =AC =23,∴由正弦定理，得△ABC 外接圆的半径r =CABsin 2=2.∴所求距离为22r R -=45-=1.答案：A9.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4 cm 、3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这个新长方体中,最长的对角线的长度是A.77 cmB.72 cmC.55 cmD.102 cm解析:两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况,分别计算三种情况的体对角线为77、98、125,所以最长的对角线为125=55.答案:C10.正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是A.90°B.60°C.45°D.30°解析:连结FE 、FD ，则由正六棱柱相关性质得FE 1∥BC 1.在△EFD 中,EF =ED =1,∠FED =120°，∴FD =3. 在Rt △EFE 1和Rt △EE 1D 中,易得E 1F =E 1D =3.∴△E 1FD 是等边三角形.∴∠FE 1D =60°. ∴BC 1与DE 1所成的角为60°. 答案:B11.球的直径为d ,体积为V 球，一正方体的棱长为a ,体积为V 正，若它们有相同的表面积，则有A.d >a ,V 球>V 正B.d >a ,V 球<V 正C.d <a ,V 球>V 正D.d <a ,V 球<V 正 解析：由于球的体积为34πR 3=V 球，表面积为4πR 2,因直径为d ，故表面积为πd 2.而正方体的表面积为6a 2=πd 2,∴d >a .排除C 、D ，从而正方体的体积为a 3=6πd 3·6π.而V 球=34π(2d )3=6πd 3,∵6π<1,故选A.答案：A12.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC =13，BB 1=BC =6，E 、F 为侧棱AA 1上的两点，且EF =3,则多面体BB 1C 1CEF 的体积为BBE F 1A.30B.18C.15D.12解析：V 111C B A F -=31S 111C B A ∆·A 1F , V E －ABC =31S △ABC ·AE , ∴V CEF C BB 11=V 111C B A ABC -－(V 111C B A F -+V E －ABC )=S △ABC ·AA 1－31S △ABC ·(AA 1－EF ) =S △ABC ·6－S △ABC =5S △ABC =30. 答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°二面角,则异面直线AD 和BF 所成角的余弦值是__________.解析:如图,∠DAF =60°,设正方形棱长为1,则FD =1.D E又CD ⊥面ADF ,∴Rt △CDF 中,CF =2.又BC =1,BF =2,cos CBF =122)2(1)2(222⨯⨯-+=42, 即AD 与BF 所成角的余弦值为42. 答案:42 14.如图，在底面边长为2的正三棱锥V －ABC 中，E 是BC 的中点，若△VAE 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为__________.（结果用反三角函数值表示）BBV －ABC ,AE =2·23=3，21AE ·VO =41，得VO =321，tan VAO =AO VO =41,得VA 与底面所成的角的大小为arctan41. 答案：arctan41 15.在平行四边形ABCD 中，AB =AC =1，∠ACD =90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，则B 、D 间的距离为__________.解：如下图，因为∠ACD =90°，所以·=0. 同理·AC =0.∵AB 与CD 成60°角，所以〈BA , CD 〉=60°或120°.ABC(1) (2)∵BD = BA + AC +CD ，∴2=2+2+2+2·+2·+2· =2+2+2+2·=3+2×1×1×cos 〈, 〉=⎪⎩⎪⎨⎧︒>=<︒>=<).120,(2),60,(4∴||=2或2，即B 、D 间的距离为2或2. 答案：2或216.正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是__________. 解析：如图所示，设正四棱锥V －ABCD 底面中心为O ，令BC =a ,则VB =ka ,而OB =22a ,在Rt △VOB 中,BCDOVcos VBO =kka a2222=. ∵∠VBO ∈(0,2π), ∴0<k 22<1,1<2k <+∞,22 <k <+∞. ∴k 的取值范围是（22，+∞). 答案：(22,+∞) 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）如图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.'A BB CDE M Nα （1）求证：MN ∥α ;（2）若AB =CD =a ，AC =b ，BD =c ，求线段MN 的长.（1）证明：过B 作BB ’⊥α,垂足为B ’，连结CB ’、DB ’，设E 为B ’D 的中点，连结NE 、CE ，则NE ∥BB ’且NE =21BB ’.又AC =BB ’， ∴MCNE ,四边形MCEN 为平行四边形（矩形）.3分 ∴MN ∥CE .又CE ⊂α,MN ⊄α,∴MN ∥α.6分（2）解：由（1）知MN =CE ，AB =CB ’=a =CD ,B ’D =22'BB BD -=22b c -,9分∴CE =2222224141)(41c b a b c a -+=--, 即线段MN 的长为2224141c b a -+. 12分18.（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB =a .1（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 之间的距离. （1）证明：∵D 1B 1∥DB ,∴D 1B 1∥平面C 1D B. 1分 同理AB 1∥平面C 1D B. 2分 又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1D B. 3分 （2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影， ∴A 1C 1⊥D 1B 1. 5分 同理A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1， ∴A 1C ⊥平面AD 1B 1. 7分 （3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心， 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ,且AO 1∥C 1O ，MN 的长即等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离, 10分 即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a .12分19.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面成30°角.x yz (1)若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证:BE ⊥PD;(2)求异面直线AE 与CD 所成的角.(1)证明:以A 为原点,AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴,建立直角坐标系,则 A (0,0,0),B (a ,0,0),D (0,2a ,0),P (0,0,a ),2分AB ·PD =(a ,0,0)·(0,2a ,－a )=0.又·=0,∴⊥, ⊥.∴PD ⊥BE . 4分 (2)解:∵P A ⊥面ABCD ,PD 与底面成30°角, ∴∠PDA =30°.6分过E 作EF ⊥AD ,垂足为F ,则AE =a ,∠EAF =60°,AF =21a ,EF =23a ,∴E (0,21a , 23a ).8分于是=(0,21a , ).又C (a ,a ,0),D (0,2a ,0), ∴=(－a ,a ,0).10分设与的夹角为θ,则cos θ•=42. ∴θ=arccos42.12分20.（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .B C1 （1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理DE 2=DF 2+EF 2－2DF ·EF cos DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.（1）证明：∵CC 1∥BB 1⇒CC 1⊥PM ,CC 1⊥PN , 2分 ∴CC 1⊥平面PMN ⇒CC 1⊥MN . 5分（2）解：在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 11A ABB 2=S 11B BCC 2+S 11A ACC 2－2S 11B BCC ·S 11A ACC cos α，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角. 7分 ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP . 8分 在△PMN 中，PM 2=PN 2+MN 2－2PN ·MN cos MNP ⇒PM 2CC 12=PN 2CC 12+MN 2CC 12－2(PN ·CC 1)·（MN ·CC 1）cos MNP . 10分由于S 11B BCC =PN ·CC 1·S 11A ACC =MN ·CC 1·S 11A ABB =PM ·BB 1， ∴有S 11A ABB 2=S 11B BCC 2+S 11A ACC 2－2S 11B BCC ·S 11A ACC cos α.12分21.（本小题满分12分）在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，底面是等腰三角形,AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面AB C.C （1）若D 是BC 的中点，求证：（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请叙述判断理由. （1）证明：∵AB =AC ,D 是BC 的中点，∴AD ⊥B C. 1分 ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥侧面BB 1C 1C. 2分 ∴AD ⊥CC 1. 3分 （2）证明：∵延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N . ∴AM =MA 1.∵NA 1=A 1B 1, 4分 ∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1. ∴C 1N ⊥C 1B 1. 5分 ∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C. 6分 ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C. ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C. 7分 （3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明， 8分 下面证明必要性.过M 作ME ⊥BC 1于点E ，连结DE .∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C. 9分 又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∵ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 四点共面. 10分 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE . ∴四边形AMED 是平行四边形.11分∵CC 1∥AM ，∴DE ∥CC 1.∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点. ∴AM =DE =21CC 1=21AA 1. ∴AM =MA 1. 12分22.（本小题满分14分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱B 1B 与底面ABC 所成角为3,且侧面ABB 1A 1垂直于底面ABC ，1（1）求证：A B ⊥CB 1； （2）求三棱锥B 1－ABC 的体积； （3）求二面角C －AB 1－B 的大小.1 （1）证明：在平面ABB 1A 1∵侧面ABB 1A 1⊥平面ABC ， ∴B 1D ⊥平面AB C. 2分 ∴∠B 1BA 是B 1B 与底面ABC 所成的角， 即∠B 1BA =60°.3分又三棱柱的各棱长均为2， ∴△ABB 1是正三角形. ∴D 是AB 的中点.连结CD ，在正△ABC 中，CD ⊥AB ， ∴AB ⊥CB 1.5分（2）解：∵B 1D ⊥平面ABC ，∴B 1D 是三棱锥B 1－ABC 的高.由B 1B =2，∠B 1BA =60°,得B 1D =2sin60°=3, 7分 ∴V ABC B 1=31S △ABC ·B 1D =31（21×23×2×2）3=1.9分 （3）解：∵△ABC 为正三角形，CD ⊥AB ，CD ⊥B 1D ， ∴CD ⊥平面ABB 1. 10分 在平面ABB 1中，作DE ⊥AB 1于点E ，连结CE ，则CE ⊥AB 1， 即∠CED 为二面角C －AB 1－B 的平面角. 12分 在Rt △CED 中，CD =2sin60°=3.连结BA 1交AB 1于O ，则BO =3. ∴DE =21BO =23.∴tan CED =DE CD=2.∴所求二面角C －AB 1－B 的大小为arctan2. 14分。