贵州大学2006-2007学年第二学期考试试卷(A)《概率论与数理统计》一、选择题（10个小题，每小题2分，共20分）1. 设A 、B 为两个事件，P(A)=0.6，P(B)=0.7。

假定A ∪B=S ，则P(AB)= ______ 。

① 0.6 ② 0.7 ③ 0.42 ④ 0.32． 设有m 个球，随机地放在n 个盒子中（m ≤n），则某指定的m 个盒子中各有一球的概率为 。

①!m m n ② !m n m m C n ③ !nn m④ !n m n n C m 3．设随机变量X 的概率密度为||()()x f x ce x -=-∞<<+∞，则c ＝ 。

① －21 ② 0 ③ 21④ 1 4．设()x Φ为标准正态分布函数，则(1)(1)Φ-+Φ＝_______。

① 2(1)Φ- ② 1 ③ 0 ④ 2(1)Φ5．设连续型随机变量X 、Y 独立，其概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则随机变量 Z ＝X ＋Y 的概率密度函数f Z (z )= 。

① )()(y f x f Y X + ② f X (x )f Y (y ) ③ )()(2y f x f Y X -- ④⎰∞∞--dt t z f t f Y X )()(6．设随机变量X 、Y 独立，均服从正态分布，其中211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，则Z =X -Y服从正态分布 。

① 221212(,)N μμσσ-- ② 221212(,)N μμσσ-+ ③ 221212(,)N μμσσ+- ④ 1212(,)N μμσσ-+ 7．设随机变量X 服从泊松分布，即()(0)X πλλ> ，(),()E X D λ分别表示X 的数学期望和方差，则 。

① ()2()E X D λ= ② ()E X ③ ()()E X D λ= ④ 12()()E X D λ= 8．设随机变量X 服从标准正态分布，即(0,1)X N ，则4()E X = 。

① 4 ② 3 ③ 2 ④ 09．设随机变量序列12,,.......,,......n X X X 依概率收敛于常数a, 是指：对于任意的0ε>，成立 。

① lim (||0)n n P X a ε→+∞-=< ② l i m (||)n n P Xa ε→+∞->= ③ lim (||)0n n P X a ε→+∞-<= ④ l i m (||)1n n P Xa ε→+∞-<= 10．设12,,.......,n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则样本方差2211()1n ii S X X n ==--∑的数学期望2()E S = 。

① 1 ② 0 ③1n ④ 11n - 二、简答题（5个小题，每小题4分，共20分）1. 随机试验的基本特征：(（1）试验前不可能知道试验结果；（2）所有可能出现的试验结果可知道；（3）大量重复试验，其结果出现某种统计规律。

)。

2. 设X 为一离散型随机变量，其分布律为：则2Y X =的分布律为：3． 设三维随机变量(X ，Y ，Z)的联合分布律为：,,(,,)i j k i j k P X x Y y Z z p ====，其中1,1,1i m j n k l ≤≤≤≤≤≤，则X 和(Y ，Z)的分布律分别为：()i P X x ==( ,,11nli j kj k p==∑∑)，(,)j k P Y y Z z ===(,,1mi j ki p=∑)。

4．设随机变量X 、Y 相互独立，2(),(),()E X a E X b D Y c ===，则23X Y -的方差为：（ 24()9b a c -+ )。

5．总体F 具有一个样本观察值1，2，1，3，2，则经验分布函数5()F x 对应的观察值为：(25450112()2313x x f x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤⎩ 。

三、计算题（每小题10分，5个小题，共50分）1． 一学生参加某资格考试，要求两次考试。

该同学第一次及格的概率为0.8。

若第一次考试及格，则第二次考试及格的概率为0.8。

若第一次考试未及格，则第二次及格的概率为0.5。

已知该同学第二次考试已经及格，求他第一次考试及格的概率。

解：设1A ：第一次考试通过，2A ：第二次考试通过。

11,A A 构成S 一个划分。

已知：11()0.8,()0.2P A P A ==1212(|)0.8,(|)0.5P A A P A A ==。

由条件概率：12121()()(|)0.8*0.80.64P A A P A P A A ===由全概率公式：2121121()()(|)()(|)0.8*0.80.2*0.50.74P A P A P A A P A P A A =+=+=。

由条件概率：12122()0.64(|)0.8648()0.74P A A P A A P A ===2．设随机变量的X 的密度函数为：220()0xe xf x x -⎧>=⎨≤⎩求2Y X =的概率密度。

解：2()()()(||(0)YF y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤≥由题意，仅对0y ≥讨论，(||((0()P X P X P X f x dx ≤=≤=≤≤=1e -=-所以，0()0Y y f y y ->=≤⎪⎩3．设二维随机变量（X ，Y ）具有概率密度1()02,02(,)80x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求(,)Cov X Y 。

解：1(1)02()40X x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它， 1(1)02()40Y y y f y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 7()()6E X E Y ==，2218004()()3E XY dx xy x y dy =+=⎰⎰1(,)()()()36Cov X Y E XY E X E Y =-=-4． 一个团队由100人组成，共同参加一种现场技能竞赛，分别独立加工同类型的一个零件，以团体总得分进入下一轮比赛。

己知：每一个人在规定时间内加工出合格品的概率为0.9。

如果团队中加工出的合格品在85件以上，则有资格进入下一轮比赛。

求团队能进入下一轮比赛的概率。

（(1.67)0.9525Φ=） 解：p=0.9, n=100, 由中心极限定理：1001001100*0.990(0,1)3iii XXN =--=∑∑ （近似）10010011905(85)()1(1.67)33ii i i XP X P ==-≤=≤-=-Φ∑∑所以，10010011(85)1(85)(1.67)0.9525i i i i P X P X ==>=-≤=Φ=∑∑.5. 从正态总体2(,)N μσ中抽取容量为100的样本，假定有2％的“样本均值X 与总体均值μ之差的绝对值在4以上”，求总体的标准差σ。

（)99.0)325.2(,98.0)055.2(=Φ=Φ解：由题意知: 2~(,)100X N σμ ，且{}98.002.014||=-=≤-μX P ，故 4210.9810σ⎛⎫ ⎪Φ-= ⎪ ⎪⎝⎭，40.9910σ⎛⎫ ⎪Φ= ⎪ ⎪⎝⎭，402.325σ=，17.2σ=.四、证明题（10分）设随机变量12,,.......,n X X X 两两独立。

证明：11()()nni i i i D X D X ===∑∑。

证明：设随机变量12,,.......,n X X X 两两独立，从而，对于任意的,i j ≠成立()()()i j i j E X X E X E X = 。

由于22()()()D X E X E X =-，所以，22111()({})()nnni i i i i i D X E X E X ====-∑∑∑。

2211(){()()()}nniiji i j i i j i i jE X X XE X E X E X =≠=≠=---∑∑∑∑2211()(){()()()}nnii j i i j i i ji i jE XE X X E X E X E X =≠=≠=---∑∑∑∑2211()()(){()()()}nnii j i i j i i j i i jE X E X E X E X E X E X =≠=≠=---∑∑∑∑2211()()nnii i i E XE X ===-∑∑1()ni i D X ==∑。