-------------------------- -------------(A)∑∞=121n n(B) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n (C) ()nn n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=111 (D) ∑⎰∞=+1104d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln lim x t t t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x x x .5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f 且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,xln--------------------------证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111 <=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn nn n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分23. 原式 =()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x x x=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x xπ5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为--------------------------()分1cos 22 x x y -=,原方程的通解为 x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f()1,0112≥≥-=''t t t t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证.分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x--------------------------这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 ()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时,())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xt t f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f-------------东南大学考试卷（A卷）课程名称工科数学分析考试学期 04－05－2（期末）得分适用专业上课各专业考试形式闭考试时间长度150分钟--------------------------4.下列结论正确的是 [ ](A) 若],[],[d c b a ⊇,则必有⎰⎰≥badcdx x f dx x f )()((B) 若|)(|x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在区间],[b a 上可积 (C)若)(x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()(一．填空题（每小题4分，共20分） 1．设121-=x y ，则)10(y （1）＝ 。

2．设⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x tdt du u 0sin 141，则='')0(f 。

3．设⎰>+=x xx dt tx f 23)0(11)(,则当=x 时,)(x f 取得最大值。

4．设)(x f 满足1)(1)(-=+'x f xx f ，则)(x f ＝ 。

5．已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，且21)()(xx xF x f +=，则=)(x f 。

二．选择题（每小题4分，共16分）1．设,sin )(3xxx x f π-=则)(x f [ ] (A)有无穷多个第一类间断点 (B)只有一个可去间断点 (C )有两个跳跃间断点 ( D)有三个可去间断点2．设当0x x →时，)(),(x x βα都是无穷小量（0)(≠x β），则当0x x →时，下列 表达式不一定是无穷小量的是 [ ](A))()(2x x βα (B)xx x 1sin )()(22βα+ (C)))()(1ln(x x βα+ (D)|)(||)(|x x βα+3．下列反常积分发散的是 [ ](A)⎰-11sin 1dx x (B)⎰--11211dx x(C)⎰∞+-02dx e x (D) ⎰∞+22ln 1dx x x--------------------------(D)若)(x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在),(b a 内必定有原函数. 三．（每小题7分，共35分） 1． 设)(x y y =满足222=-+xyye y x ,求曲线)(x y y =在点)2,0(处的切线方程.2． 计算积分⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++116|)2ln(|1sin dx x x x 3．计算积分⎰-dx x x 222 4.计算反常积分⎰∞+13arctan dx xx5.设⎰-=221)(x t dt e x f ,求⎰10)(dx x xf .四.(7分) 求微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''21)0(,1)0(sin y y x x y y 的解.五.(8分)在区间],1[e 上求一点ξ,使得图中所示阴影部分 绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小。

六.(7分)设b a <<0,求证:ba ab a b +->)(2ln . 七．（7分）求极限)1sin 31sin 21sin 11(sinlim nn n n n n ++++++++∞→东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析考试学期 04－05－3（期末） 得分xln =--------------------------适用专业 上课各专业 考试形式闭 考试时间长度 150分钟．空2.设∑为上半球面224y x z --=，则曲面积分⎰⎰∑+++1222z y x dS 值为[ ]（A ）π4 (B)π516 (C) π316 (D) π383.设力场j y x i y x F )24()43(++-=，将一质点在力场内沿xoy 平面内的椭圆191622=+y x 正向运动一周，场力所做的功W 为 [ ]--------------------------(A) π96 (B) π48 (C) π24 (D) π124．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ）充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三.计算下列各题(每小题7分,共35分) 1. 计算积分⎰=+-2||22)1()1(z dz z z z。