二项式定理专题一、基础知识 1.二项式定理:011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2.基本概念:①二项式展开式:右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3.注意关键点:①项数:展开式中总共有(1)n +项。
②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。
4.常用的结论:令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5.性质:①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =,···1k k n n C C -=②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=, 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=,从而得到:0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和:0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项:求()na bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅,设第1r +项系数最大,应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩,从而解出r 来。
二、专题练习(一)二项式定理的逆用;例:12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解:012233(16)6666n nn n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距,123211221666(666)6nn n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666nn n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-练:1231393 .n nn n n n C C C C -++++=解:设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++,则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==(二)利用通项公式求nx 的系数;例:在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有3x 的项的系数? 解:由条件知245n nC -=,即245n C =,2900n n ∴--=,解得9()10n n =-=舍去或,由2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==,由题意1023,643r r r --+==解得, 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练:求291()2x x-展开式中9x 的系数? 解:291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-,令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
(三)利用通项公式求常数项; 例:求二项式210(x +的展开式中的常数项? 解:5202102110101()()2r r rrr r r T C x C x --+==,令52002r -=,得8r =,所以88910145()2256T C ==练:求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项?解:666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-,令620r -=,得3r =,所以3346(1)20T C =-=-练:若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项,则____.n =解:4244421251()()n n n n T C x C xx--==,令2120n -=,得6n =. (四)利用通项公式,再讨论而确定有理数项;例:求二项式9展开式中的有理项?解:12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-,令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或,所以当3r =时,2746r -=,334449(1)84T C x x =-=-, 当9r =时,2736r -=,3933109(1)T C x x =-=-。
(五)奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例:若n 展开式中偶数项系数和为256-,求n .解:设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①,1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得:1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得,1822562n --=-=-,9n ∴=。
练:若n 的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。
解:0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=,121024n -∴=,解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==,565451462n T C x -+==⋅,611561462T x-+=⋅(六)最大系数,最大项;例:已知1(2)2n x +,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少? 解:46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或,当7n =时,展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数,434571()270,2T C ==的系数当14n =时,展开式中二项式系数最大的项是8T ,7778141C ()234322T ∴==的系数。
练:在2()na b +的展开式中,二项式系数最大的项是多少?解:二项式的幂指数是偶数2n ,则中间一项的二项式系数最大,即2112nn T T ++=,也就是第1n +项。
练:在(2nx -的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少? 解:只有第5项的二项式最大,则152n+=,即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =练:写出在7()a b -的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?解:因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有34347T C a b =-的系数最小,43457T C a b =系数最大。
练:若展开式前三项的二项式系数和等于79,求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项?解:由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大,12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r rr r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩,化简得到9.410.4r ≤≤,又012r ≤≤,10r ∴=,展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x == 练:在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少?解:假设1r T +项最大,1102r r rr T C x +=⋅111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得,化简得到6.37.3k ≤≤,又010r ≤≤,7r ∴=,展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x ==(七)含有三项变两项;例:求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数?解法①:2525(32)[(2)3]x x x x ++=++,2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+,当且仅当1r =时,1r T +的展开式中才有x 的一次项,此时124125(2)3r T T C x x +==+,所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =。