二项式定理知识点、题型与方法归纳一．知识梳理1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ．其中),,2,1,0(n r C rn Λ=叫二项式系数．式中的r rn r n b aC -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项rr n r n r b a C T -+=1.2．二项展开式形式上的特点: (1)项数为n ＋1；(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项式系数的性质：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -=(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n nnCC-+=取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例【题型一】求()nx y +展开特定项例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) BA.6B.7C.8D.9例2：⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答) 70 【题型二】求()()m na b x y +++展开特定项例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) D A ．74B ．121C ．－74D ．－121【题型三】求()()mna b x y +⋅+展开特定项例1：已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) DA.－4B.－3C.－2D.－1例2：在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中,记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) C A ．45 B ．60C ．120D ．210例3：若数列{}n a 是等差数列,且6710a a +=,则在1212()()()x a x a x a ---L 的展开式中,11x 的系数为___.60-【题型四】求()nx y z ++展开特定项例1：求⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)的展开式经整理后的常数项.解：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25在x ＞0时可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r ()x 10－2r ，则r ＝5时为常数项，即C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.例2：若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．DA ．11B ．33C ．55D ．66解：展开后，每一项都形如a b cx y z ，其中10a b c ++=，该方程非负整数解的对数为210266C +=。

例3：(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60解析 易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.【题型五】二项式展开逆向问题例1：(2013·广州毕业班综合测试)若C 1n ＋3C 2n ＋32C 3n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1＝85，则n 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6解：由C 1n ＋3C 2n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1＝13[(1＋3)n －1]＝85，解得n ＝4.故选B. 【题型六】赋值法求系数（和）问题例1：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094.③(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.④(4)∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，∴所求即为④－③(亦即②)，其值为2187.点拨：①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.例2：设⎝⎛⎭⎫22＋x 2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝________. 解：设f (x )＝⎝⎛⎭⎫22＋x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1)(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＋a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝f (－1)·f (1) ＝⎝⎛⎭⎫22－12n ·⎝⎛⎭⎫22＋12n ＝⎝⎛⎭⎫－122n ＝⎝⎛⎭⎫14n . 例3：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.解：依题意令x ＝－32，得⎝⎛⎭⎫－32＋12⎝⎛⎭⎫－32＋22014＝a 0＋a 1⎝⎛⎭⎫－32＋2＋a 2⎝⎛⎭⎫－32＋22＋…＋a 2016⎝⎛⎭⎫－32＋22016，令x ＝－2得a 0＝0，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016＝⎝⎛⎭⎫122016.【题型七】平移后系数问题例1：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.解法一：令x ＋1＝y ，(y －1)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，故a 3＝C 25(－1)2＝10.解法二：由等式两边对应项系数相等.即：⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝1，C 45a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 34a 4＋a 3＝0，解得a 3＝10.解法三：对等式：f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再运用赋值法，令x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.故填10. 【题型八】二项式系数、系数最大值问题例1：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________． 解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9，⎝⎛⎭⎫x ＋12x 9展开式的第四项为T 4＝C 39·(x )6·⎝⎛⎭⎫12x 3＝212.例2：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项 A ．4B ．5C ．6D ．7解析 (1－x )9展开式中第r ＋1项的系数为C r 9(－1)r，易知当r ＝4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.例3：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，解得n ＝8.所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6.所以r ＝5或r ＝6，所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5或T 7＝1 792x 6.点拨：(1)求二项式系数最大项：①如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解出r ，即得展开式系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例1：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．解析 原等式两边求导得5(2x －3)4·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 【题型十】整除问题例1：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除． 因此a 可取值12.例2：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016解：22015＝22×23×671＝4×8671＝4(7＋1)671＝4(7671＋C 16717670＋…＋C 6706717＋1).因此22015除以7的余数为4.经验证，只有2013除以7所得的余数为4.故选A. 三．自我检测1、(2013·青岛一检)“n ＝5”是“⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．323、组合式C 0n －2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 的值等于 ( )A ．(－1)nB ．1C ．3nD ．3n －14、若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________．5、已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( ) A ．－180B ．180C ．45D ．－456、(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为 ( ) A ．10B ．－10C ．2D ．－27、(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．8、在3450(1)(1)(1)x x x ++++++L 的展开式中，3x 的系数为（ ）A. 351CB. 450CC. 451CD. 447C9、在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( )A ．C 2nB ．C 2n ＋1 C ．C n －1n D.12C 3n ＋1 10、(2015·安徽合肥二检)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为________。