30. 锐角三角函数
➢ 知识过关
1. 锐角三角函数的定义
在Rt△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且∠C=90°，sinA=_____,cosA=_____,tanA=____
3. 三角函数之间的关系
(1) 同角三角函数之间的关系：
=+αα22cos sin _______；α
α
αcos sin tan =
(2) 互余两角的三角函数的关系：
sin(90°-α)=________；cos(90°-α)=_______ (3) 锐角三角函数的增减性：
当α为锐角时，1cos 0,1sin 0<<<<αα且sinα、tanα的值都随α的增大而_______;cosα的值随α的增大而_______
➢ 考点分类
考点1求锐角三角函数值
例1 (1)如图所示，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则∠ABC 的正切值为( ) A.2 B.
252 C. 25 D.21
(2) 如图所示，Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=_____
考点2特殊角度的三角函数值 例2(1)在锐角△ABC 中，若0)3(tan |4
1
c |22
=-+-B A os ，则∠C 的正切值是________. (2)计算：002
30cos 2|23|)14.3()
2
1(----+-π
考点3三角函数之间的关系 例3下列式子错误的是( )
A.0
50sin 40cos = B.175tan 15tan 0
=⋅ C.125cos 25sin 0
2
2
=+ D.0
30sin 260sin =
➢ 真题演练
1．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则sin ∠BOD ＝（ ）
A ．1
2
B ．2
C ．2√55
D ．√55
2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ．则tan ∠APD 的值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．0.5
D ．2.5
3．如图，△ABC 的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）
A ．√5
B ．
√55
C ．1
2
D ．
2√53
4．如图，在网格中，点A ，B ，C 都在格点上，则∠CAB 的正弦值是（ ）
A ．
√55
B ．1
2
C ．
2√5
5
D ．2
5．如图，在中Rt △ABC ，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，下列结论中，正确的是（ ）
A ．tan
B =12
5
B ．tan A =5
12
C ．sin A =12
13
D ．cos B =5
13
6．如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB 的坡角（∠BAC ）为30.5°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC 为5米，则自动扶梯AB 的长为（ ）
A ．5tan30.5°米
B ．5sin30.5°米
C ．
5sin30.5°
米 D ．
5cos30.5°
米
7．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么sin ∠BAC 的值为 ．
8．已知在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝17，tan B =5
12，那么AC ＝ ․
9．计算：（1）（13
）﹣
1+sin45°﹣（π+1）0+√3tan60°
（2）sin 230°+cos 230°−12
tan 245°
10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，BC ＝5，AD ＝4，sin ∠C =
2√5
5
． （1）求sin ∠BAD 的值； （2）求线段EF 的长．
➢ 课后作业
1．如图，在△ABC 中，AD ，BE 是△ABC 的角平分线，如果AB ＝AC ＝10，BC ＝12，那么tan ∠ABE 的值是（ ）
A ．1
2
B ．
√63
C ．
√64
D ．2
2．图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝m ，∠AOB ＝α，则OC 2的值为（ ）
A ．m 2sin 2α+m 2
B ．m 2cos 2α+m 2
C ．
m 2sin 2α
+m 2
D ．
m 2cos 2α
+m 2
3．如图，在离铁塔100米的A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD 为1.4米，则铁塔的高BC 为（ ）
A ．（1.4+100tan α）米
B ．(1.4+100
tanα)米 C ．(1.4+100
sinα)米 D ．（1.4+100sin α）米
4．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB 的高度，工程师在D 得用高1m 的测角仪CD ，测得楼顶端A 的仰角为30°，然后向楼前进20m 到达E ，又测得楼顶端A 的仰角为60°，楼AB 的高为（ ）
A ．（10√3+1）m
B ．（20√3+1）m
C ．（5√3+1）m
D ．（15√3+1）m
5．如图，AD 是△ABC 的中线，AD ＝5，tan ∠BAD =3
4，S △ADC ＝15，则AC 的长为（ ）
A ．√5
B ．2√10
C ．2√5
D ．√10
6．如图，A 、D 、B 在同一条直线上，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为（ ）
A ．
ℎcosα
B ．
ℎ
sinα
C ．
ℎ
tanα
D ．h •cos α
7．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的1
2
C ．没有变化
D ．不能确定
8．如图，AD 是△ABC 的高，若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则sin B ＝（ ）
A .1
2
B ．
√2
2
C ．1
3
D ．
√23
9．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若cos∠BAC=13，则AD的长度是．
10．已知：如图，△ABC中，AC＝10，sinC=4
5，sinB=
1
3，则AB＝．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sin A=2
3，则AC＝．
12．已知在△ABC中，∠C为直角．
（Ⅰ）若AB＝13，tan A=5
12，求△ABC的面积．
（Ⅱ）若BC＝2√3，AD是角平分线，BD＝2CD，求AB，AC的长度．
13.．如图，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sin B=√2
2，tan A=1
2，AC=√5．
（1）求AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
➢冲击A+
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；
（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
①求证：∠BAG＝∠ABG；
②若AD＝5，求AF的长．。