2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数一、综合题1．如图， AB 是O 的直径，点C 、G 为圆上的两点，当点C 是弧 BG 的中点时， CD 垂直直线AG ，垂足为D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点P ，弦 CE 平分 ACB ∠ ，交 AB 于点F ，连接BE .（1）求证： DC 与 O 相切；（2）求证： PC PF = ； （3）若 1tan 3E =， 5BE =，求线段 PF 的长. 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，点E 时弧AD 的中点，BE 交AC 于点F ，BC ＝FC.（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若BF ＝3EF ，求tan⊙ACE 的值.3．如图，ABC 内接于,O D 是O 的直径 AB 的延长线上一点， DCB OAC ∠=∠ .过圆心 O作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E .（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若 4,6CD CE == ，求O 的半径及 tan OCB ∠ 的值；4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 是AC 的中点，连接OD ，交AC 于点E ，作BFCD ，交DO 的延长线于点F.（1）求证：四边形BCDF 是平行四边形. （2）若AC=8，连接BD ，tan⊙DBF=34，求直径AB 的长及四边形ABCD 的周长. 5．如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点 E ， 42AC =， 2BC = ．（1）求 sin ABC ∠ ； （2）求CD 的长．6．如图，点 O 在 ABC ∆ 的 BC 边上，O 经过点 A 、 C ，且与 BC 相交于点 D .点 E 是下半圆弧的中点，连接 AE 交 BC 于点 F ，已知 AB BF = .（1）求证： AB 是O 的切线；（2）若 3OC = ， 1OF = ，求 cos B 的值.7．如图，在Rt ΔABC 中，9068C AC BC ∠=︒==，，，AD平分ABC 的外角BAM ∠，AD BD ⊥于点D ，过D 点作DE 平行BC 交AM 于点E.点P 在线段AB 上，点Q 在直线AC 上，且22CQ BP t ==，连接PQ ，作P 点关于直线DE 的对称点P '，连接PP P Q ''，.（1）当P 在AB 中点时，t = ；连接DP ，则此时DP 与EC 位置关系为 （2）①求线段AD 的长：②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上，求点A 到对应点A '的距离；（3）如图，当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，求所有满足条件的t 的值.8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A(﹣3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，连接AC ，BC.（1）求抛物线的解析式；（2）在直线CD 上是否存在点P ，使⊙PBC ＝⊙BCO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为抛物线对称轴l 上一点，点N 为抛物线上一点，当直线AC 垂直平分线段MN 时，请直接写出点M 和点N 的坐标.9．如图，点F 是正方形ABCD 边AB 上一点，过F 作FG⊙BC ，交CD 于G ，连接FC ，H 是FC 的中点，过H 作EH⊙FC 交BD 于点E ．（1）连接EF ，EA ，求证：EF ＝AE ．（2）若BFk BA= ， ①若CD ＝2， 13k = ，求HE 的长；②连接CE ，求tan⊙DCE 的值．（用含k 的代数式表示）10．如图，在 Rt ABC 中， 90,6,8ACB BC AC ∠=︒== ，D 是边AB 的中点，动点P 在线段BA 上且不与点A ，B ，D 重合，以PD 为边构造 Rt PDQ ，使 PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，且点Q 与点C 在直线AB 同侧，设 BP x = ，PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积为S ．（1）当点Q 在边BC 上时，求BP 的长； （2）当 7x ≤ 时，求S 关于x 的函数关系式.11．如图，在⊙ABC中，⊙ABC ＝90°，过点B 作BD⊙AC 于点D ．（1）尺规作图，作边BC 的垂直平分线，交边AC 于点E ． （2）若AD ：BD ＝3：4，求sinC 的值．（3）已知BC ＝10，BD ＝6．若点P 为平面内任意一动点，且保持⊙BPC ＝90°，求线段AP 的最大值．12．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.（1）【理解运用】如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC ，若AC = AB ，则cos⊙ABC= ， sin⊙CAD= .（2）如图2，凸四边形中，AD = BD ，AD⊙BD ，当2CD 2 + CB 2 = CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形，证明你的结论.（3）【拓展提升】在平面直角坐标中，A （－1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于⊙ABC 内部，⊙AEC = 90° + ⊙ABC.设AEBE= u ，点D 的纵坐标为t ，请在下方横线上直接写出u 与t 的函数表达，并注明t 的取值范围 .13．如图，在梯形ABCD 中，AD⊙BC ，BC ＝18，DB ＝DC ＝15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE ＝DF＝5．AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．（1）求证：BG ＝CH ；（2）设AD ＝x ，⊙ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当⊙HFG 与⊙ADN 相似时，求AD 的长．14．（1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 为AB 延长线上一点，连接EC 并延长，交AD 的延长线于点F ，则BCE DCF ∠+∠的度数为 °；（2）【问题探究】如图2，在Rt⊙ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 、E 在直线BC 上，连接AD 、AE ，若60DAE ∠=︒，6AB =，求⊙ADE 面积的最小值；（3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC （如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB 的延长线上取一点D ，连接DC 并延长到点E ，连接AE ，已知AE BC ，40AB BC ==米，90ABC ∠=︒，为节约修建成本，需使修建后⊙ADE 的面积尽可能小，问⊙ADE 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.15．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且B （﹣1，0），C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2） 如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，且DD'＝2CD ，点M 是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN.当5D'N+CN 的值最小时16．在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， 3AC = ， 4BC = .将 Rt ABC 绕点B 顺时针旋转()060αα︒<<︒ 得到 Rt DEB ，直线DE ， AC 交于点P.（1）如图1，当 BD BC ⊥ 时，连接BP. ①求BDP 的面积；②求 tan CBP ∠ 的值；（2）如图2，连接AD ，若F 为AD 中点，求证；C ，E ，F 三点共线.17．如图，抛物线与x 轴交于A （5，0），B （ 1- ，0），与y 轴的正半轴交于点C ，连接BC ，AC ，已知2sin 2BAC ∠=.（1）求抛物线的解析式；（2）直线 y kx = （ 0k > ）交线段AC 于点M ，当以A 、O 、M 为顶点的三角形与⊙ABC 相似时，求k 的值，并求出此时点M 的坐标；（3）P 为第一象限内抛物线上一点，连接BP 交AC 于点Q ，请判断： PQQB是否有最大值，如有请求出这个最大值，如没有请说明理由.18．如图1，已知 Rt ABC ∆ 中， 90ACB ∠= ， 2AC = ， 23BC = ，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点 ,A C 在 x 轴的负半轴上（点 C 在点 A 的右侧），顶点 B 在第二象限，将 ABC ∆ 沿AB 所在的直线翻折，点 C 落在点 D 位置（1）若点 C 坐标为 ()1,0- 时，求点 D 的坐标；（2）若点 B 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求点 C 坐标；（3）如图2，将四边形 BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形 1111B C A D ，过点 1D 的反比例函数 (0)ky k x=≠ 的图象与 CB 的延长线交于点 E ，则在平移过程中，是否存在这样的 k ，使得以点 1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点 11,,D BE 在同一条直线上？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由答案解析部分1．【答案】（1）证明：CD AD ⊥，90D ∴∠=︒ ，∴⊙DAC+⊙DCA=90°， 点c 是弧 BG 的中点， ∴CG BC =DAC BAC ∴∠=∠ ， OA OC = ， OCA BAC ∴∠=∠ ， OCA DAC ∴∠=∠ ， //AD OC ∴ ，∴⊙D=⊙OCP=90°，OC 是圆O 的半径， DC ∴ 与O 相切，（2）证明：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒ ，90PCB ACD ∴∠+∠=︒ ，由（1）得： 90DAC DCA ∠+∠=︒ ，PCB DAC ∴∠=∠ ， DAC BAC ∠=∠ ， PCB BAC ∴∠=∠ ， CE 平分 ACB ∠ ， ACF BCF ∴∠=∠ ，∵⊙PFC=⊙BAC+⊙ACF ，⊙PCF=⊙PCB+⊙BCF ，PFC PCF ∴∠=∠ ， PC PF ∴= ；（3）解：连接 AE ，CE 平分 ACB ∠ ，∴ AE BE = ，AE BE ∴= ， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒ ，AEB ∴∆ 为等腰直角三角形，∵AB=210BE = ，∴OB=OC= 10∵1tan 3E =∴1tan 3BC CAB AC ∠== ， ∵⊙PCB=⊙BAC ，⊙P=⊙P ， ∴⊙PCB⊙⊙PAC ， ∴13BC PB AC PC == ， ∴ 设 PB x = ， 3PC x = ，在 Rt OCP ∆ 中， 222OC PC OP += ， ∴2221010(3))22x x +=+ ， ∴10x =或x=0(舍去)， ∴PC=310，∴PF=310.2．【答案】（1）证明：连接AE ，如图，∵AB 是⊙O 的直径， ∴⊙AEB ＝90°.∴⊙EAF+⊙AFE ＝⊙EAB+⊙ABE ＝90°. ∵点E 是弧AD 的中点， ∴AE DE = . ∴⊙EAD ＝⊙ABE. ∴⊙AFE+⊙ABE ＝90°. ∵⊙AFE ＝⊙BFC ，∴⊙ABE+⊙CFB ＝90°. ∵BC ＝FC ， ∴⊙CFB ＝⊙CBF. ∴⊙CBF+⊙ABE ＝90°. ∴⊙ABC ＝90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线. （2）解：连接OE ，BD ，∵点E 是弧AD 的中点，∴OH⊙AD ，AH ＝HD ＝ 12AD . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BD⊙AD.∴BD⊙OE. ∴EH EFBD BF = . ∵BF ＝3EF ，∴13EH BD = . 设EH ＝2a ，则BD ＝6a. ∵OE⊙BD ，OA ＝OB ， ∴OF ＝12BD ＝3a. ∴OA ＝OE ＝OH+HE ＝5a. ∴AB ＝2OA ＝10a. ∴AD ＝228AB BD a -= .∴HD ＝12AD ＝4a. ∵⊙ABC ＝90°，BD⊙AC ， ∴⊙ABD⊙⊙BCD. ∴AD BDBD CD= . ∴CD ＝ 292BD a AD = .∴CH ＝HD+CD ＝172a . 在Rt⊙EHC 中，tan⊙ACE ＝ 2417172EH a CH a ==.3．【答案】（1）证明：如图，,OA OC =OAC OCA ∴∠=∠ ，DCB OAC ∠=∠ ， OCA DCB ∴∠=∠ ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒ ，90OCA OCB ∴∠+∠=︒ ，90DCB OCB ∴∠+∠=︒ ，即 90OCD ∠=︒ ， OC DC ∴⊥ ，又OC 是 O 的半径，CD ∴ 是O 的切线.（2）解：,BC OEBD CD OB CE ∴= ，即 4263BD OB == ， ∴设 2BD x = ，则 3,5OB OC x OD OB BD x ===+= ，,OC DC ⊥222OC CD OD ∴+=222(3)4(5)x x ∴+= ，解得， 1x = ，33OC x ∴== .即O 的半径为3，,BC OEOCB EOC ∴∠=∠ ，在 Rt OCE 中， 6tan 23EC EOC OC ∠=== ， tan tan 2OCB EOC ∴∠=∠=4．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙C=90°，∵点D 是AC 的中点，∴DO 垂直平分AC ，且AD=DC ， ∴CA⊙DF ，AE=EC ， ∴⊙AEO=90°，∴BC DF ， ∵BF CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形； （2）∵BC DF ， ∴⊙DBF=⊙CDB ，又∵根据圆周角定理有⊙CDB=⊙BAC ， ∴⊙DBF=⊙BAC ， 即tan⊙BAC=34， ∵AC=8， ∴CB=6，则在Rt⊙ACB 中，利用勾股定理可得AB=10，即AO=5=OD ， ∵AE=EC=12AC ， ∴AE=EC=4，在Rt⊙AEO 中，利用勾股定理得OE=3，∴DE=OD-OE=5-3=2，在Rt⊙AED 中，利用勾股定理，得55 ∴四边形ABCD 的周长5555．【答案】（1）解：∵AB 是O 的直径， 42AC =， 2BC = ，∴90ACB ∠=︒ ， 22236AB AC BC =+= ， ∴6AB = ， 2sin 3ABC ∠=（2）解：∵CD AB ⊥ ，∴CE DE = ， 由三角形的面积公式得:1122AC BC AB CE ⨯⨯=⨯⨯ , ∴423CE =， ∴822CD CE ==． 6．【答案】（1）证明：连接 OA 、 OE ，∵点 E 是下半圆弧的中点， OE 过 O ， ∴OE DC ⊥ ， ∴90FOE ∠=︒ ， ∴90E OFE ∠+∠=︒ ， ∵OA OE = ， AB BF = ，∴BAF BFA ∠=∠ ， E OAE ∠=∠ ， ∵AFB OFE ∠=∠ ， ∴90OAE BAF ∠+∠=︒ ， 即 OA AB ⊥ ， ∵OA 为半径， ∴AB 是O 的切线（2）解：设 AB x = ，则 BF x = ， 1OB x =+ ， ∵3OA OC == ，由勾股定理得： 222OB AB OA =+ ， ∴()22213x x +=+ ， 解得： 4x = ，∴4cos 5AB B OB == 7．【答案】（1）5；平行（2）解：①P 在AB 中点时，连接DP 并延长交BC 于点F ，由（1）：DP CE ，∴1BF BPFC AP==， ∴142BF FC BC ===，∴132PF AC ==，11822DF DP PF AB AC =+=+=，∵90DEA BCE PDE ∠=∠=∠=︒， ∴四边形DECF 是矩形， ∴84CE DF DE CF ====，， ∴2AE CE AC =-=， ∴22222425AD AE DE =+=+=②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上， ∴AA '与DD '垂直平分，两条线段的交点O 即为旋转中心，如图所示：则：OD AB ⊥，∵902510ADB AD AB ∠=︒==，，， ∴()2222102545BD AB AD =-=-=∵1122ABD S AD BD AB DO ∆=⋅=⋅， ∴254510DO =， ∴4OD =， ∴222AO AD OD =-=，∴24AA OA '==；（3）解：当P Q AD '时；如图：延长P P '交BC 于点G ，过点P P '，分别作PH AC P T CQ '⊥⊥，，垂足为：H T ，，则：四边形CGP T '为矩形，∵3455AC BC sin ABC cos ABC AB AB ∠==∠==，， ∴3455PG BP sin ABC t BG BP cos ABC t =⋅∠==⋅∠=，，∴34855CH PG t P T CG BC BG t ====-=-'，，∴385HE CE CH t =-=-，∵P ，P '关于直线DE 对称 ∴385ET EH t ==-，∴3138821655t QT CT CQ CE ET CQ t t =-=+-=+--=-，∵P Q AD '， ∴P QT DAE ∠=∠'，∴2DEtan P QT tan DAE AE∠='∠==， ∴2P T TQ '=，即：413821655t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 解得：6011t =； 当PQ BD 时，延长BD 交CQ 于点K ，∵PQ BD ，∴APQ ABD AQP AKB ∠=∠∠=∠，，∵90ADB ADK DAB KAD ∠=∠=︒∠=∠，（角平分线）， ∴ABD AKB ∠=∠， ∴APQ AQP ∠=∠， ∴AP AQ =，∵1026AP AB BP t AQ CQ AC t =-=-=-=-，， ∴1026t t -=-， 解得：163t =； 当P Q BD '时，如图：延长P P '交BC 于点G ，过点P P '，分别作PO AC P R CQ '⊥⊥，，垂足为：OR，，延长BD ，交CM 于点S ，则：四边形CNP R '为矩形，∵3455AC BC sin ABC cos ABC AB AB ∠==∠==，， ∴3455PN BP sin ABC t BN BP cos ABC t =⋅∠==⋅∠=，，∴34855CO PN t P R CN BC BN t ====-=-'，，∴385OE CE CO t =-=-，∵P ，P '关于直线DE 对称 ∴385ER OE t ==-，∴3132881655t QR CQ CR CQ CE ER t t =-=-+=--+=-； ∵AD BD ⊥，90AED ∠=︒，∴90ADE EDS ADE DAE ∠+∠=∠+∠=︒ ∴EDS DAE ∠=∠， ∵P Q BD '，∴QP R EDS DAE ∠=∠=∠'， ∴2DEtan QP R tan DAE AE∠='∠==， ∴2QR P R ='， 即：413281655t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：8011t =； 综上：当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，6011t =或163t =或8011t =. 8．【答案】（1）解：根据二次函数交点式为 ()()()120y a x x x x a =--≠ ，抛物线过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，∴设 ()()2331y ax bx a x x =+-=+- ，∵x=0时，y ＝ax 2+bx ﹣3=-3，∴将 ()0,3- 代入 ()()31y a x x =+- ∴﹣3a ＝﹣3， ∴a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3.（2）解：由抛物线的表达式知，点C 、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C 、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3①，1tan 3BCO ∠= ，则 cos 10BCO ∠= ，当点P （P′）在点C 的右侧时，如图所示：∵⊙P'BC ＝⊙BCO ，故P′B⊙y 轴，则点P′（1，﹣2）， 当点P 在点C 的左侧时，设直线PB 交y 轴于点H ，过点H 作HN⊙BC 于点N ， ∵⊙P'BC ＝⊙BCO ， ∴⊙BCH 为等腰三角形，则 222cos 23110BC CH BCO CH =⋅∠=⨯=+， 解得： 53CH =，则 433OH CH =-= ，故点 4(0,)3H = ， 由点B 、H 的坐标得，直线BH的表达式为： 4433y x =-②，联立①②并解得：58xy=-⎧⎨=-⎩，故点P的坐标为（﹣5，﹣8），综上所述，满足条件的点P坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）.（3）M(﹣1，2﹣2)，N(﹣1﹣2，﹣2)或M'(﹣1，﹣2﹣2)，N'(﹣1+ 2，﹣2) 9．【答案】（1）证明：如图，连接EF，EA，EC，∵ EH⊙FC，H是FC的中点，∴EF=EC，∵AD=CD，⊙ADE=⊙CDE=45°，DE=DE，∴⊙ADE⊙⊙CDE，∴AE=EC，∴EF＝AE；（2）解：如图，①∵CD=2，13 BFBA=，∴BF=23，AF=43，∴FC=22210 3BC BF+=，过点E作EM⊙AB于点M，∵EF=AE，∴EM垂直平分FA，∴FM=AM=23，∴BM=ME=43，∴2253FM ME+=，∵H是FC的中点，∴10，∴2210EF FH-=②设AB=2a，∵BFkBA=，∴BF=2ak，∴FM=MA=a-ka，BM=a+ak=ME，∵⊙ADE⊙⊙CDE，∴⊙DCE=⊙DAE=⊙FEM，∴tan⊙DCE=tan⊙FEM=11FM kME k-=+. 10．【答案】（1）解：在Rt ABC中，90,6,8 ACB BC AC∠=︒==，22226810 AB AC BC∴+=+=．4tan3ACBBC==，3tan4BCAAC==, ∵D是边AB的中点，∴5BD=如图，当点Q落在BC上时，BP x = ，4tan 3PQ BP B x ==， ∵PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，16tan 9QP PD x A == ， 5BD PD BP =+= ，1659xx += ， 解得， 95x = ，95BP ∴= ；（2）解：如图，当 905x < 时，设PQ 、DQ 与BC 交于点M 、N ，∵D 是边AB 的中点，∴5BD = ， 4ND = ， 3BN = ，4tan 3PM BP B x == ， 211423462233BNDPBMS SSx x x =-=⨯⨯-⨯=- ； 当955x << 时， 5PD x =- ， 3tan (5)4PQ DP A x ==- ， 21331575(5)(5)24848PDQS Sx x x x ==⨯--=-+ ； 当 57x <≤ 时， 5PD x =- ， 3tan (5)4PQ DP A x ==- ， 21331575(5)(5)24848PDQS Sx x x x ==⨯--=-+ ； 故 PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积关系式为： 2222960353157595848531575(57)848x x S x x x x x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+<⎪⎩ ． 11．【答案】（1）解：作图如下：（2）解：∵⊙ABC=⊙BDC=90°， ∴⊙ABD ＋⊙CBD=90°，⊙CBD ＋⊙C=90°，∴⊙ABD=⊙C ，在Rt⊙ABD 中，AD ：BD ＝3：4， ∴AB⊙AD=3⊙5，∴sinC=sin⊙ABD=35AD AB =． （3）解：如图，点P 在BC 为直径的圆上，O 为圆心，当A 、P 、O 三点共线时，AP 最大，∵BC ＝10，BD ＝6，∴CD=8，∵⊙ABD⊙⊙BCD ，∴2BD AD CD =⋅，26=8AD ，解得9=2AD ， 在Rt⊙ABD 中，AB=152，∵BC=10， ∴BO=OP=5， 在Rt⊙ABO 中，22513AO AB OB =+=， ∴AP=AO ＋513， 故答案为：5132．． 12．【答案】（1）35；1225（2）解：如图②中，结论：四边形ABCD 是对余四边形.理由：过点D 作DM⊙DC ，使得DM ＝DC ，连接CM. ∵四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD⊙BD ，∴⊙DAB ＝⊙DBA ＝45°， ∵⊙DCM ＝⊙DMC ＝45°， ∴⊙CDM ＝⊙ADB ＝90°， ∴⊙ADC ＝⊙BDM ， ∵AD ＝DB ，CD ＝DM ， ∴⊙ADC⊙⊙BDM （SAS ）， ∴AC ＝BM ，∵2CD 2+CB 2＝CA 2，CM 2＝DM 2+CD 2＝2CD 2，∴CM 2+CB 2＝BM 2， ∴⊙BCM ＝90°，∴⊙DCB ＝45°， ∴⊙DAB+⊙DCB ＝90°， ∴四边形ABCD 是对余四边形. （3）4)2tu t =<< 13．【答案】（1）解：∵AD⊙BC ，∴AD DE BG EB = ， AD DFCH FC= ． ∵DB ＝DC ＝15，DE ＝DF ＝5，∴12DE DF EB FC == ， ∴AD ADBG CH= ． ∴BG ＝CH ．（2）解：过点D 作DP⊙BC ，过点N 作NQ⊙AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB ＝DC ＝15，BC ＝18，∴BP ＝CP ＝9，DP ＝12．∵12AD DE BG EB == ， ∴BG ＝CH ＝2x ， ∴BH ＝18+2x ． ∵AD⊙BC ，∴AD DNBH NB = ， ∴182x DNx NB=+ ， ∴18215xDN DNx x NB DN ==+++ ，∴56xDNx=+．∵AD⊙BC，∴⊙ADN＝⊙DBC，∴sin⊙ADN＝sin⊙DBC，∴NQ PD DN BD=，∴46xNQx=+．∴211422266x xy AD NQ xx x=⋅=⋅=++（0<x≤9）．（3）解：∵AD⊙BC，∴⊙DAN＝⊙FHG．（i）当⊙ADN＝⊙FGH时，∵⊙ADN＝⊙DBC，∴⊙DBC＝⊙FGH，∴BD⊙FG，∴BG DF BC DC=，∴5 1815 BG=，∴BG＝6，∴AD＝3．（ii）当⊙ADN＝⊙GFH时，∵⊙ADN＝⊙DBC＝⊙DCB，又∵⊙AND＝⊙FGH，∴⊙ADN⊙⊙FCG．∴AD FC DN CG=，∴5(182)106xx xx⋅-=⨯+，整理得x2﹣3x﹣29＝0，解得3552x+=，或3552x-=（舍去）．综上所述，当⊙HFG与⊙ADN相似时，AD的长为3或3552x+=．14．【答案】（1）60（2）解：S⊙ADE=12DE·AB=3DE，∴当DE取最小值时，⊙ADE面积取最小值.作⊙ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊙DE于H，则⊙DOE=2⊙DAE=120°，由OD=OE知，⊙ODH=30°，∴OD=2OH，∵OA+OH≥AB，∴OA+12OA≥6，即OA≥4，OH≥2，由垂径定理得：3OH≥3此时，A、O、H共线，AD=AE，∴⊙ADE面积的最小值为：3×433（3）解：过C作CH⊙AE于H，如图所示，设BD=x，EF=y，∵⊙ABC=90°，AE⊙BC，∴四边形ABCF 为矩形， ∵AB=BC=40∴四边形ABCF 为正方形， 由tan⊙E=tan⊙BCD 知，CF BDEF BC=， 即4040x y =， ∴y=1600x， 即xy=1600， ∵22220x x y y x y-+=≥，∴2x y xy +≥，当x=y 时取等号，即x+y 的最小值为80，又⊙ADE 的面积=正方形ABCF 面积+三角形BCD 面积+三角形CEF 面积， 即⊙ADE 的面积=1600+20（x+y ）≥1600+20×80=3200， 综上所述，⊙ADE 的面积的最小值为3200 m 2.15．【答案】（1）解：∵y ＝﹣x 2+bx+c 经过B （﹣1，6），3），∴340c b c =⎧⎨-++=⎩ ， 解得 25b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+7（2）解：如图1中，过点B 作BT⊙y 轴交AC 于T.设P(m ，﹣m 2+2m+3)，对于抛物线y ＝﹣x 2+5x+3，令y ＝0，∴A(2，0)， ∵C(0，8)，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+3， ∵B(﹣1，2)， ∴T(﹣1，4)， ∴BT ＝3， ∵PQ⊙OC ， ∴Q(m ，﹣m+3)，∴PQ ＝﹣m 2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m 3+3m ， ∵PQ⊙BT ， ∴PQ BT ＝ PE BC ＝ 15， ∴﹣m 2+3m ＝4，解得m ＝1或2，∴P(4，4)或2.（3）解：如图8中，连接AD ，过点C 作CT⊙AD 于T.∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣(x﹣1)2+3，∴顶点D(1，4)，∵C(8，3)，∴直线CD的解析式为y＝x+3，CD＝7，∵DD′＝2CD，∵DD′＝2 4，CD′＝3 2，∴D′(4，6)，∵A(3，2)，∴AD′⊙x轴，∴OD′＝22OA D A+'＝2256+＝3 5，∴sin⊙OD′A＝OAOD'＝45，∵CT⊙AD′，∴CT＝3，∵NJ⊙AD′，∴NJ＝ND′•sin⊙OD′A＝7D′N，5D'N+CN＝CN+NJ，∵CN+NJ≥CT，∴55D'N+CN≥7，5D'N+CN的最小值为8.16．【答案】（1）解：①过点P作PH BD⊥于H.BD BC⊥，PH BD⊥，90CBH PHB C∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BCPH 是矩形，4PH BC∴==，在Rt ACB中，2222345AB AC BC++=，由旋转的旋转可知，5BD BA==，11541022PBDS BD PH∆∴=⋅⋅=⨯⨯=.②由旋转的性质可知，4BE BC==，12PBDS PD BE∆=⋅⋅，2054PD∴==，90PHD∠=︒，2222543DH PD PH∴=-=-=，2PC BH∴==，90C∠=︒，21tan42PCPBCBC∴∠===.（2）证明：如图2中，连接BF，取BD的中点T，连接FT，ET.BC BE = ， BA BD = ，BCE BEC ∴∠=∠ ， BAD BDA ∠=∠ ，BDE ∆ 是由 BAC ∆ 旋转得到， BCE ABD ∴∠=∠ ， BEC ADB ∴∠=∠ ，BA BD = ， AF DF = ， BF AD ∴⊥ ， 90AFD ∴∠=︒ ，90BED AFD ∠=∠=︒ ， DT TB = ，12ET BD ∴=， 12FT BD = ， ET FT DT TB ∴=== ， E ∴ ，F ，D ，B 四点共圆， 1DBF ∴∠=∠ ，90DBF BDF ∠+∠=︒ ， 190BEC ∴∠+∠=︒ ，1180BEC BED ∴∠+∠+∠=︒ ， C ∴ 、E 、F 三点共线.17．【答案】（1）解：由 ()50A ，可知 5OA = ， 在Rt⊙AOC 中， 2sin 2BAC ∠= ， ∴45BAC ∠=︒ ，∴5OA OC == ，即点C （0，5），由题意可设 ()()51y a x x =-+ ，把点C 代入得： 55a -= ， 解得： 1a =- ，∴抛物线解析式为 ()()25145y x x x x =--+=-++ ；（2）解：由（1）可得：C （0，5）， ()50A ，，设直线AC 的解析式为 1y k x b =+ ，把点A 、C 坐标代入得：{b =55k 1+b =0 ，解得： {b =5k 1=−1， ∴直线AC 的解析式为 5y x =-+ ，∵直线 y kx = （ 0k > ）交线段AC 于点M ，则设 ()5M m m -+，， ∴5m k m-+=， 由（1）可知 5OA OC == ， 1OB = ， ∴()()22055052AC =-+-=， 6AB = ，由题意可分：①当 AOM ABC ∽ 时，∴56AO AM AB AC == ， ∴525266AM AC ==， ∴由两点距离公式可得： ()()226255518m m -+-= ， 解得： 1255566m m ==， ， ∵05m ≤≤ ， ∴56m =， ∴55525655666M k -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，， ； ②当 AOM ACB ∽ 时，∴2252AO AM AC AB ===，∴232AM AB ==，∴由两点距离公式可得： ()()225518m m -+-= ， 解得： 1228m m ==， （不符合题意，舍去），∴()2532322M k -+==，， ； （3）解：过点B 作BF⊙x 轴，交AC 的延长线于点F ，过点P 作PD⊙x 轴于点D ，交AC 于点H ，如图所示：∴BF⊙PH ，∴BQF PQH ∽ ，∴PQ PHBQ BF= ， 由（2）知，直线AC 的解析式为 5y x =-+ ，点 ()10B -， ， ∴点 ()16F -， ，即 6BF = ， 设点 ()245P a a a -++，，则有 ()5H a a -+， ， ∴()224555PH a a a a a =-++--+=-+ ，∴225152566224PQ a a a BQ -+⎛⎫==--+⎪⎝⎭ ， ∵106-< ， ∴当 52a =时， PQ BQ 的值最大，最大值为 2524.18．【答案】（1）解：如图，过点 D 作 DM x ⊥ 轴于点 M∵90ACB ∠=︒ ， ∴3tan 32BC CAB AC ∠===∴60CAB ∠=由题意可知 2DA AC == ， 60DAB CAB ∠=∠=︒ . ∴180180606060DAM DAB CAB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ . ∴906030ADM ∠=︒-︒=︒ 在 Rt ADM ∆ 中， 2DA = ， ∴1AM = ， 3DM =.∵点 C 坐标为 (10)-，， ∴1214OM OC AC AM =++=++= . ∴点 D 的坐标是 (3)-（2）解：设点 C 坐标为 (,0)a （ 0a < ），则点 B 的坐标是 (,3)a ， 由（1）可知：点 D 的坐标是 (3)a - ∵点 B 和点 D 在同一个反比例函数的图象上， ∴33(3)a a =- .解得 3a =- . ∴点 C 坐标为 (3,0)-（3）解：存在这样的 k ，使得以点 E， 1B ， D 为顶点的三角形是直角三角形①当 190EDB ∠= 时.如图所示，连接 ED ， 1B B ， 1B D ， 1B B 与 ED 相交于点 N .则 190EBN NDB ∠=∠=︒ ， 1BNE DNB ∠=∠ ， 130DBN NB E ∠=∠= .∴BNE ∆ ⊙ 1DNB ∆∴1BN ENDN B N= ∴1BN DNEN B N= 又∵1BND ENB ∠=∠ ， ∴BND ∆ ⊙ 1ENB ∆ .∴130NEB NBD ∠=∠= ， 130NDB NB E ∠=∠= ， ∴30BED BDE ∠=∠=︒ . ∴23BE BD == ， 16tan 30BEBB ==设 (43)E m ， （ 0m < ），则 1(3)D m - ， ∵E ， 1D 在同一反比例函数图象上， ∴433(9)m m =- .解得： 3m =- . ∴(343)E -，∴343123k =-⨯=-②当 190EB D ∠= 时.如图所示，连接 ED ， 1B B ， 1B D ，∵1//BD ED ，∴1118090BDB EB D ∠=︒-∠=︒ .在 1Rt BDB ∆ 中，∵130DBB ∠=︒ ， 3BD =， ∴14cos30BDBB == .在 1Rt EBB ∆ 中， ∵130BB E ∠=︒ ，∴143tan 30EB BB =︒=. ∴1033EC BC EB =+=设 3(,)3E m （ 0m < ），则 1(13)D m - ∵E ， 1D 在同一反比例函数图象上，1033(7)m=-.解得：3m=-，∴103 (3,3 E-∴3333k=-⨯=-21/ 21。