条件：只有电流分布（磁场分布）具有对称性 时才可利用安培环路定理求磁感应强度。 步骤: 1. 分析磁场分布的对称性； 2. 作适当的闭合回路L，确定L绕向(积分路径走 向 )； 3. 确定回路包围的电流，求得B的大小
二．载流导线和运动电荷所受磁场力
1． 洛伦兹力: 特征:方向垂直于v和B所构成的平 面；不作功，不改变电荷的速率和动能．
方向沿x方向 （若F为正值，则合力的方向与x轴正向一致）。
例5 半径分别为R1和R2的两个半圆弧与直径的两小段
构成的通电线圈abcda (如图所示)，放在磁感强度
为B的均匀磁场中，平行线圈所在平面．则 线圈的磁矩大小为
1 2 I ( R2 R12 ) 2 ___________ ，
R2 a b
2r

0
2
R o r
dr
B
0
2
dr
0
R
0R
2

dr
例4. 均匀带电细直线AB, 电荷线密度为λ, 绕垂直于 直线通过O 点的轴以角速度ω 匀速转动( 线形状不 变, O 点在A B 延长线上) , 求: r dr (1 ) O点的磁感应强度B; O B a A (2 ) 磁矩m ; b （1）解 ：在带电细线离O点r处取线元dr，其带 电量 dq dr，旋转时相当于一圆电流
2 r 2 R2 I 1 H 2 2 2r R R 3 2
1.解: 圆电流在O点产生的磁场 0 I 2 B1 方向× 2R 长直导线电流在O点产生的磁场 0 I 2 方向× B2 2R 导体管在O点产生的磁场由安培环路定理求得，
B3
0 I1
2 (d R)
方向×
圆心O点处的磁感应强度
0 R d 1 I 2 RI1 B B1 B2 B3 2 R R d
任意载流导线在场点 P 处的磁感强度
0 I dl r B dB 3 4π r
几种典型的磁感应强度B 1. 载流直导线 （1）有限长载流直导线：
电流流入与位矢之间夹角
z
D
2
B
（cos 1 cos 2 ） 4πr
0 I
I
o
x
C
1
P y
电流流出与位矢之间夹角
2． 安培力: F dF Idl B L L 3． 磁力矩: 磁矩 m=ISen 磁力矩 M m B
例1.如图所示,有一长直导体圆筒,内外半径分别为R1 和R2,它所载的电流I1均匀分布在其横截面上.导体旁 边有一绝缘的无限长直导线,载有电流I2,且在中部绕 了一个半径为R的圆圈.设导体管的轴线与长直导线平 行,相距为d,且与导线圆圈共面,求圆心O点处的磁感应 强度.
磁场方向×。
例2.一无限长圆柱形导体( 磁导率μ0 ) , 半径为R, 通 有均匀电流I。今取一矩形平面S(长为1 m, 宽为2 R) , 如图中斜线阴影部分所示, 求通过该矩形平面的 磁通量。 解： 本题的电流分布满足安培环 路定理求磁场的条件，由安培环 路定理易求得圆体内外的磁感应 强度值的分布为
稳恒磁场 习题课
一 两个基本方程： 1. 磁场的高斯定理（磁通连续定理） 磁场是无源场。 B dS 0

S
2. 安培环路定理
n B dl 0 I i 磁场是非保守场。 L i 1
二 毕奥—萨伐尔定律 ——电流元在空间某场点产生的磁感应强度B
0 Idl r dB 3 4π r


当 0 时， m的方向垂直纸面向内； 0 时， m的方向垂直纸面向外。
例5 如图所示, 载有电流I1 的无限长直导线旁边有一 载流正三角形线圈, 其边长为b, 一边与直导线的距离 为a, 电流为I2 , 二者共面, 求三角形线圈受到无限长 直载流导线的磁力。 0 I1 图中AB段受力 FAB bI2 y 2a 方向如图。 FBC B AC、BC对称分布， I2 C x I1 FAB y方向所受合力为零。 a l b A x方向上 FCA dl I I dl
dS = l dx
I ldx d 2 x 0 I0l d a sin t ln 2 d
S d a
S
I x
d
B
dx
a
l
练习2．电子在磁感强度为B 的均匀磁场中沿半径
为R的圆周运动，求电子运动所形成的等效圆电流
强度I 及等效圆电流的磁矩m． 已知电子电荷为e， 电子的质量为me．
几种特殊情况
（a）无限长载流直导线：
B
0 I
2πr
（b）半无限长载流直导线：
B
0 I
4πr
（c）P点位于直导线延长线上： B =0
2. 圆电流轴线上的磁场.
I
o
R
x
*
B
x
B
B
0 IR
2
2 2 3
（ 2 x R ）2
N 0 IR2
2 2 3
1）若线圈有 N 匝 2）环心处 3）x R
dq dq dI dr T 2 2
0 dr dB 2r 4 r 0dI
它在O点产生的磁感应强度值为
0 dr dB 2r 4 r
0dI
r
dr
O
a
A
b
B

整条带电线产生的磁感应强度为
0 ab dr 0 a b B dB ln 4 a r 4 a
0 I BA 4π d
*A
R2
R1
*o
B0
0 I
4 R2

0 I
4 R1

0 I
4π R1
3.长直载流螺线管（或细螺绕环）
内部： B 0nI 外部：B=0 三 磁力 1. 洛伦兹力：运动的带电粒子在磁场中所受磁力
1 半长直载流螺线管：B 0 nI 2
F qv B
（ 2 x R ）2
x0
B
0 I
2R
0 IR2 0 IS B ， B 3 3 2x 2π x
（ 1） I （2 ）
o
R B x 0
I
圆环中心
B0
0 I
2R
R
o （ 3） I R
半圆环中心
B0
0 I
4R
1 圆环中心 4
o
B0
0 I
8R
（ 4）
d （ 5） I
解 由磁介质中的安培环路定理： L H dl I
0 r R1
0 Ir 2rH 2 ， H , B 2 2 R1 2R1 2R1
r2I Ir
（金属的相对磁导率近似为1）
R1 r R2 2rH I , H
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 r R 2 R2 r R3 2rH I I, 2 2 R3 R2
r
rd R l H dl II H 2π dH I 2π d 0 r I B H 2π d
r
d
I
R
r
rd R
r
I
0r I B 2π d
H dl I I 0
l
dR
d
I
2π dH 0 , H 0
B H 0
I
B B1 B2
R2 R1 I
0 I ( R1 R2 )
4 R1R2
O
B的方向为垂直纸面向上．
m=IS=*(R12+R22)/2
m的方向为垂直纸面向外．
例7 有两个半径分别为 R 和 的“无限长”同 r 的 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 I 时，试 求 （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度. I 解 对称性分析
同理可求
R
r
d r, B 0
练习1. 在真空中有一无限长载流直导线,试求：通 过其右侧矩形线框的磁通量.
练习1. 在真空中有一无限长载流直导线, 试求：通过其右侧矩形线框的磁通量.
0 I B dΦ B dS 2x Φ B d S B d S
S
2R
解图5-A-19
0 I 0 I ln 2 4 2
例3 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度 为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转 动 ，求圆盘中心的磁感强度. 解 圆电流的磁场
dq 2 π rdr dI rdr T 2
dB
0dI
v me evB R
2
eBR v me
R
- e
Be 2 e e I T 周期 2R v 2m e
2 2 Be 2 Be R 2 磁矩 m IS R 2m e 2m e
v
方向: 垂直纸面向外
练习3 通有电流Ｉ1无限长的载流直导线，与长度为 b的通有电流Ｉ2 CD导线共面且垂直，相对位置如图 所示。求导线CD受的磁力． 解
dFACx 2 a l sin 60

0 1 2

cos 60
FACx
b
0
2 a l sin60

0 I1I 2dl


cos60

0 I1I 2 cos60 a b sin60 ln 2 sin60 a
作用在三角形上的合力值
b 0 I1I 2 2 3 b 3 F 2 FACx FAB ln1 a 2 a 2 3
B的方向： 当 0 时，B的方向垂直纸面向内；当 0